Бутун Сон Билан Касрнинг Йигиндиси Ва Айирмаси: Мисоллар Билан Тушунтириш

by Scholario Team 74 views

Кириш

Математика оламида сонлар билан ишлаш кўп қизиқарли ва фойдали бўлиши мумкин, айниқса бутун сонлар ва касрларнинг комбинациясига келсак. Бутун сонлар ва касрларнинг йиғиндиси ва айирмаси мавзуси математиканинг асосий тушунчаларидан бири ҳисобланади. Бу мавзуни чуқур ўрганиш орқали сиз нафақат математик билимларингизни оширасиз, балки кундалик ҳаётда ҳам бундан фойдалана оласиз. Бугун биз бутун сонлар ва касрлар билан ишлашнинг асосий қоидаларини, уларни қандай қўшиш ва айиришни, ҳамда бу жараённинг турли қирраларини кўриб чиқамиз. Математиканинг бу соҳаси сизга жуда қизиқ туюлишига ишонаман, чунки ундаги ҳар бир мисол ва ҳар бир ечим сизнинг мантиқий фикрлаш қобилиятингизни янада ривожлантиради.

Бундан ташқари, бутун сонлар ва касрларнинг йиғиндиси ва айирмаси нафақат математика дарсларида, балки физика, муҳандислик ва ҳатто иқтисодиёт каби бошқа фанларда ҳам муҳим роль ўйнайди. Масалан, сиз бирор нарсанинг умумий қийматини ҳисоблаётганда ёки рецепт бўйича таом тайёрлаётганда ҳам бу билимлардан фойдаланишингиз мумкин. Шундай экан, келгусида сизга асқотадиган билимларни ўзлаштиришга тайёр бўлинг! Ушбу қўлланма сизга бутун сонлар ва касрлар билан ишлашнинг барча нозик жиҳатларини тушунишга ёрдам беради, шунингдек, бу мавзуга оид мисолларни ечишда ўз усулларингизни ишлаб чиқишга имкон беради. Ҳар бир қадамни аниқ ва тушунарли қилиб тушунтиришга ҳаракат қиламиз, шунда сиз ҳеч қандай қийинчиликсиз янги билимларни ўзлаштира оласиз.

Бутун сон ва каср тушунчалари

Келинг, аввало, бутун сон ва каср деганда нимани тушунишимиз кераклигини аниқлаб олайлик. Бутун сонлар – бу саноқда ишлатиладиган сонлар, масалан, 1, 2, 3, ва ҳоказо. Улар мусбат, манфий ёки ноль бўлиши мумкин. Каср эса бутуннинг бир қисмини ифодалайди. Касрлар одатда иккита сон билан ёзилади: сурат ва махраж. Сурат – касрнинг юқори қисми бўлиб, қанча қисм олинганини кўрсатади. Махраж эса пастки қисми бўлиб, бутун неча қисмга бўлинганини кўрсатади. Масалан, 3/5 касрида 3 – сурат, 5 – махраж.

Касрларнинг турли хиллари мавжуд: оддий касрлар (сурат махраждан кичик), нотўғри касрлар (сурат махражга тенг ёки катта) ва аралаш касрлар (бутун сон ва касрдан иборат). Аралаш касрлар бутун сон ва каср қисмдан иборат бўлади. Масалан, 2 3/5 – аралаш каср. Бундай касрларни ҳисоблашда қулай бўлиши учун нотўғри касрга айлантириш мумкин. Нотўғри каср – бу сурати махражидан катта ёки тенг бўлган каср. Аралаш касрни нотўғри касрга айлантириш учун бутун сонни махражга кўпайтириб, суратга қўшамиз, натижани сурат сифатида ёзамиз, махраж эса ўзгаришсиз қолади. Масалан, 2 3/5 ни нотўғри касрга айлантирсак, (2 * 5 + 3) / 5 = 13/5 ҳосил бўлади.

Касрлар билан ишлашда уларни соддалаштириш муҳимдир. Касрни соддалаштириш – бу унинг сурати ва махражини умумий бўлувчига бўлиш орқали касрни кичикроқ сонлар билан ифодалашдир. Масалан, 4/8 касрини 2 га қисқартирсак, 2/4 ҳосил бўлади, яна 2 га қисқартирсак, 1/2 га тенг бўлади. Касрларни соддалаштириш ҳисоб-китобларни осонлаштиради ва натижаларни тушунарлироқ қилади. Касрларнинг бу каби асосий тушунчаларини яхши ўзлаштириш, келгусида улар билан боғлиқ амалларни бажаришда жуда муҳимдир.

Йиғинди ва айирма қоидалари

Энди эса, бутун сон ва касрларнинг йиғиндиси ва айирмаси қандай бажарилишини кўриб чиқамиз. Бунинг учун бир нечта асосий қоидаларни билиш керак. Аввало, бутун сонни каср кўринишида ифодалаш мумкин. Масалан, 2 ни 2/1 каби ёзиш мумкин. Бу бизга бутун сонларни касрлар билан бир хил шаклда қўшиш ва айириш имконини беради.

Касрларни қўшиш ёки айириш учун уларнинг махражлари бир хил бўлиши керак. Агар махражлар ҳар хил бўлса, уларни умумий махражга келтириш керак. Умумий махраж – бу иккала махражга ҳам бўлинадиган сон. Энг қулай умумий махраж – бу махражларнинг энг кичик умумий карралиси (ЭКУК). Умумий махражни топгандан сўнг, ҳар бир касрнинг суратини шундай ўзгартирамизки, касрнинг қиймати ўзгармасин. Бунинг учун ҳар бир касрнинг сурати ва махражини тегишли сонга кўпайтирамиз.

Махражлари бир хил бўлган касрларни қўшиш ёки айириш учун суратларни қўшиш ёки айириш ва махражни ўзгаришсиз қолдириш керак. Масалан, 1/5 + 2/5 = (1 + 2) / 5 = 3/5. Бутун сонни каср билан қўшишда бутун сонни умумий махражга эга бўлган касрга айлантирамиз, сўнгра суратларни қўшамиз. Масалан, 2 + 3/5 ни ҳисоблаш учун 2 ни 10/5 каби ёзамиз (чунки 2 = 2/1 = 10/5), кейин 10/5 + 3/5 = 13/5 бўлади. Агар натижа нотўғри каср бўлса, уни аралаш касрга айлантириш мумкин. Мисол учун, 13/5 = 2 3/5.

Aйириш ҳам худди шундай тартибда бажарилади. Масалан, 5 - 5/8 ни ҳисоблаш учун 5 ни 40/8 каби ёзамиз, кейин 40/8 - 5/8 = 35/8 бўлади. Буни аралаш касрга айлантирсак, 4 3/8 ҳосил бўлади. Касрларни қўшиш ва айириш қоидаларини яхши тушуниш, математиканинг бошқа соҳаларини ўрганишда ҳам муҳим аҳамиятга эга. Бу қоидалар сизга турли хил мисолларни осонгина ечишга ёрдам беради.

Мисоллар билан ечиш

Энди эса, бутун сон ва касрларнинг йиғиндиси ва айирмасига оид бир нечта мисолларни кўриб чиқамиз. Бу мисоллар сизга мавзуни янада чуқурроқ тушунишга ёрдам беради. Ҳар бир мисолни қадамма-қадам ечиш орқали, сиз бу каби мисолларни мустақил равишда ечиш кўникмасига эга бўласиз.

  1. Мисол: 2 + 3/5

    Бу мисолда бутун сон 2 ни каср билан қўшиш керак. Аввало, 2 ни каср кўринишида ёзамиз: 2 = 2/1. Кейин умумий махражни топамиз. Бу ҳолда умумий махраж 5 бўлади. Шунинг учун 2/1 ни 5/5 га кўпайтирамиз: 2/1 * 5/5 = 10/5. Энди 10/5 ва 3/5 касрларини қўшишимиз мумкин: 10/5 + 3/5 = 13/5. Натижа нотўғри каср бўлгани учун уни аралаш касрга айлантирамиз: 13/5 = 2 3/5.

  2. Мисол: 5 + 5/8

    Бу мисолда ҳам аввалгидек, 5 ни каср кўринишида ёзамиз: 5 = 5/1. Умумий махраж 8 бўлади. 5/1 ни 8/8 га кўпайтирамиз: 5/1 * 8/8 = 40/8. Кейин 40/8 ва 5/8 касрларини қўшамиз: 40/8 + 5/8 = 45/8. Нотўғри касрни аралаш касрга айлантирамиз: 45/8 = 5 5/8.

  3. Мисол: 10 + 3/14

    10 ни 10/1 кўринишида ёзамиз. Умумий махраж 14 бўлади. 10/1 ни 14/14 га кўпайтирамиз: 10/1 * 14/14 = 140/14. Кейин 140/14 ва 3/14 касрларини қўшамиз: 140/14 + 3/14 = 143/14. Нотўғри касрни аралаш касрга айлантирамиз: 143/14 = 10 3/14.

  4. Мисол: 6 + 13/25

    6 ни 6/1 кўринишида ёзамиз. Умумий махраж 25 бўлади. 6/1 ни 25/25 га кўпайтирамиз: 6/1 * 25/25 = 150/25. Кейин 150/25 ва 13/25 касрларини қўшамиз: 150/25 + 13/25 = 163/25. Нотўғри касрни аралаш касрга айлантирамиз: 163/25 = 6 13/25.

  5. Мисол: 4 + 3/25

    4 ни 4/1 кўринишида ёзамиз. Умумий махраж 25 бўлади. 4/1 ни 25/25 га кўпайтирамиз: 4/1 * 25/25 = 100/25. Кейин 100/25 ва 3/25 касрларини қўшамиз: 100/25 + 3/25 = 103/25. Нотўғри касрни аралаш касрга айлантирамиз: 103/25 = 4 3/25.

Мураккаб мисоллар ва уларни ечиш усуллари

Баъзан мисоллар бироз мураккаброқ бўлиши мумкин, масалан, бир нечта касрларни қўшиш ёки айириш, ёхуд аралаш касрлар билан ишлаш. Бундай мисолларни ечиш учун бир нечта қўшимча қадамларни бажариш керак бўлади. Келинг, шундай мисолларни кўриб чиқамиз ва уларни қандай ечиш мумкинлигини ўрганамиз.

Агар сизга бир нечта касрларни қўшиш керак бўлса, аввало уларнинг ҳаммасини умумий махражга келтиришингиз керак. Умумий махражни топгандан сўнг, ҳар бир касрнинг суратини ўзгартириб, кейин суратларни қўшиб, махражни ўзгаришсиз қолдирасиз. Мисол учун, агар сизга 1/2 + 1/3 + 1/4 ни ҳисоблаш керак бўлса, умумий махраж 12 бўлади. Шунда 1/2 = 6/12, 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12 бўлади. Кейин 6/12 + 4/12 + 3/12 = 13/12 бўлади. Натижани аралаш касрга айлантирсак, 1 1/12 ҳосил бўлади.

Аралаш касрлар билан ишлашда уларни нотўғри касрларга айлантириш қулайроқ. Бундай қилиш учун бутун сонни махражга кўпайтириб, суратга қўшамиз, натижани сурат сифатида ёзамиз, махраж эса ўзгаришсиз қолади. Масалан, 2 3/4 ни нотўғри касрга айлантирсак, (2 * 4 + 3) / 4 = 11/4 бўлади. Сўнгра касрларни қўшиш ёки айириш қоидаларига мувофиқ амалларни бажарамиз. Агар жавоб нотўғри каср бўлса, уни яна аралаш касрга айлантиришимиз мумкин.

Мисол учун, 3 1/2 + 1 2/3 ни ҳисобланг. Аввало, аралаш касрларни нотўғри касрларга айлантирамиз: 3 1/2 = 7/2, 1 2/3 = 5/3. Кейин умумий махражни топамиз, бу ҳолда у 6 га тенг. Шунда 7/2 = 21/6, 5/3 = 10/6 бўлади. Касрларни қўшамиз: 21/6 + 10/6 = 31/6. Натижани аралаш касрга айлантирамиз: 31/6 = 5 1/6.

Мураккаб мисолларни ечишда ҳар доим диққат билан бўлиш ва қадамларни тўғри бажариш муҳим. Агар сиз ҳар бир қадамни аниқ бажарсангиз, ҳар қандай мисолни ҳам муваффақиятли ечишингиз мумкин. Машқ қилиш орқали сиз бундай мисолларни тез ва осон ечишга ўрганасиз.

Амалиёт ва машқлар

Бутун сонлар ва касрларнинг йиғиндиси ва айирмасини яхши ўзлаштириш учун амалиёт муҳим аҳамиятга эга. Қанча кўп машқ қилсангиз, шунчалик бу мавзуни яхши тушунасиз. Шунинг учун, келгусида сизга ёрдам берадиган бир нечта машқларни тавсия қиламан.

  1. Турли хил мисолларни ечинг: оддий мисоллардан бошлаб, мураккаброқ мисолларга ўтинг. Масалан, аввал 2 + 1/4 ни ечинг, кейин 3 1/2 + 2 2/3 каби мисолларни ечишга ҳаракат қилинг. Ҳар хил турдаги мисолларни ечиш орқали, сиз турли усулларни қўллашни ўрганасиз.

  2. Мисолларни ўзгартиринг: ўзингиз мисоллар тузиб, уларни ечишга ҳаракат қилинг. Бу сизнинг мавзуни қанчалик тушунганингизни текширишнинг ажойиб усулидир. Ўзингизга саволлар беринг: қандай касрларни қўшиш керак? Умумий махражни қандай топаман? Бу каби саволлар сизнинг фикрлаш қобилиятингизни ривожлантиради.

  3. Реал ҳаёт мисолларини қўлланг: бутун сонлар ва касрларнинг йиғиндиси ва айирмасига оид кундалик вазиятларни ўйлаб топинг. Масалан, агар сиз пиццанинг 3/8 қисмини есангиз ва дўстингиз 1/4 қисмини еса, жами қанча пицца егансиз? Бундай мисоллар математиканинг амалий аҳамиятини кўрсатади.

  4. Хатоларингизни таҳлил қилинг: агар мисолни нотўғри ечсангиз, хатоингизни қаерда қилганингизни аниқланг. Бу сизга келажакда шунга ўхшаш хатолардан қочишга ёрдам беради. Хатолар – бу ўрганиш жараёнининг бир қисми, улардан қўрқмаслик керак.

  5. Гуруҳларда ишланг: дўстларингиз ёки синфдошларингиз билан биргаликда мисоллар ечинг. Бу сизга бошқаларнинг усулларини ўрганиш ва ўз усулларингизни бошқалар билан баҳам кўриш имконини беради. Биргаликда ишлаш орқали сиз мавзуни янада чуқурроқ тушунасиз.

Амалиёт ва машқлар орқали сиз бутун сонлар ва касрларнинг йиғиндиси ва айирмаси мавзусини мукаммал ўзлаштирасиз. Эсингизда бўлсин, муваффақиятнинг асосий омили – бу тинимсиз машқ қилишдир.

Хулоса

Хулоса қилиб айтганда, бутун сон ва касрларнинг йиғиндиси ва айирмаси математиканинг муҳим ва асосий тушунчаларидан биридир. Бу мавзуни ўзлаштириш орқали сиз нафақат математик билимларингизни оширасиз, балки кундалик ҳаётда ҳам улардан фойдалана оласиз. Биз бутун сон ва касрларнинг асосий тушунчаларини, уларни қўшиш ва айириш қоидаларини, шунингдек, турли мисолларни ечиш усулларини кўриб чиқдик.

Бундан ташқари, биз мураккаб мисолларни ечиш ва амалиётнинг муҳимлигини таъкидладик. Машқ қилиш орқали сиз бу мавзуни янада яхши тушунасиз ва мисолларни тез ва осон ечишга ўрганасиз. Хатоларингизни таҳлил қилиш ва улардан сабоқ олиш ҳам муҳимдир. Гуруҳларда ишлаш сизга бошқаларнинг усулларини ўрганиш ва ўз билимларингизни бошқалар билан баҳам кўриш имконини беради.

Умид қиламанки, ушбу қўлланма сизга бутун сонлар ва касрлар билан ишлашнинг барча нозик жиҳатларини тушунишга ёрдам берди. Энди сиз бу мавзуга оид мисолларни ечишда ўз усулларингизни ишлаб чиқишингиз мумкин. Математика – бу қизиқарли ва фойдали фан, уни ўрганишдан завқ олинг ва ҳар доим янги билимлар олишга интилинг. Бутун сонлар ва касрлар билан ишлаш кўникмаси сизга бошқа математик мавзуларни ўзлаштиришда ва ҳаётнинг турли соҳаларида муваффақиятга эришишда ёрдам беради.