Como Resolver A Equação (3x-2)² + (x-4)² + (x-3)² + 4x² - 3x + 2 = 9x + 27 Guia Passo A Passo

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje vamos mergulhar em um problema matemático super interessante e desvendar o valor de x que satisfaz a seguinte equação:

(3x-2)² + (x-4)² + (x-3)² + 4x² - 3x + 2 = 9x + 27

Para tornar tudo ainda mais divertido, temos algumas alternativas para x: a) x = 1, b) x = 2, c) x = 3, d) x = 4.

Neste artigo, vamos justificar a resposta correta mostrando todos os passos da resolução da equação. Então, preparem seus cadernos e vamos nessa!

Desvendando a Equação: Passo a Passo Rumo à Solução

Para resolver essa equação, vamos precisar de algumas ferramentas matemáticas importantes, como a expansão de produtos notáveis e a simplificação de termos semelhantes. Não se preocupem, vamos explicar tudo detalhadamente para que ninguém se perca no caminho.

1. Expandindo os Produtos Notáveis

O primeiro passo é expandir os termos que estão elevados ao quadrado. Vamos relembrar os produtos notáveis que serão nossos aliados nessa jornada:

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

Com essa fórmula em mente, podemos expandir os seguintes termos:

• (3x - 2)² = (3x)² - 2(3x)(2) + 2² = 9x² - 12x + 4
• (x - 4)² = x² - 2(x)(4) + 4² = x² - 8x + 16
• (x - 3)² = x² - 2(x)(3) + 3² = x² - 6x + 9

Agora, podemos substituir esses resultados na equação original. Acreditem, já estamos mais perto da solução!

2. Substituindo e Simplificando: Uma Nova Perspectiva da Equação

Substituindo os produtos notáveis expandidos na equação original, temos:

9x² - 12x + 4 + x² - 8x + 16 + x² - 6x + 9 + 4x² - 3x + 2 = 9x + 27

Agora, vamos juntar os termos semelhantes, ou seja, aqueles que têm a mesma variável e o mesmo expoente. Somando os termos com x², os termos com x e os termos constantes, chegamos a:

(9x² + x² + x² + 4x²) + (-12x - 8x - 6x - 3x) + (4 + 16 + 9 + 2) = 9x + 27

Simplificando ainda mais, temos:

15x² - 29x + 31 = 9x + 27

Olha só, a equação já está bem mais simples! Estamos quase lá!

3. Transformando em uma Equação do Segundo Grau: O Próximo Nível

Para resolver essa equação, vamos transformá-la em uma equação do segundo grau na forma geral, que é ax² + bx + c = 0. Para isso, vamos subtrair 9x e 27 de ambos os lados da equação:

15x² - 29x + 31 - 9x - 27 = 0

Simplificando, obtemos:

15x² - 38x + 4 = 0

Pronto! Agora temos uma equação do segundo grau pronta para ser resolvida. Vocês estão brilhando!

4. Resolvendo a Equação do Segundo Grau: Encontrando o Valor de x

Existem algumas maneiras de resolver uma equação do segundo grau, mas vamos usar a fórmula quadrática, também conhecida como fórmula de Bhaskara. Essa fórmula é uma ferramenta poderosa que nos dá as raízes da equação, ou seja, os valores de x que a satisfazem.

A fórmula quadrática é:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Onde a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau (ax² + bx + c = 0). No nosso caso, temos:

• a = 15
• b = -38
• c = 4

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

x = (38 ± √((-38)² - 4(15)(4))) / 2(15)

Calculando o discriminante (o termo dentro da raiz quadrada):

Δ = (-38)² - 4(15)(4) = 1444 - 240 = 1204

Agora, substituindo o valor do discriminante na fórmula, temos:

x = (38 ± √1204) / 30

Calculando as duas possíveis soluções para x:

x1 = (38 + √1204) / 30 ≈ 2.33 x2 = (38 - √1204) / 30 ≈ 0.19

5. Testando as Alternativas: A Verdade Revelada

Agora que temos as possíveis soluções para x, vamos testar as alternativas fornecidas para ver qual delas satisfaz a equação original. As alternativas são:

• a) x = 1
• b) x = 2
• c) x = 3
• d) x = 4

Substituindo x = 2 na equação original:

(3(2)-2)² + (2-4)² + (2-3)² + 4(2)² - 3(2) + 2 = 9(2) + 27

(6-2)² + (-2)² + (-1)² + 4(4) - 6 + 2 = 18 + 27

(4)² + 4 + 1 + 16 - 6 + 2 = 45

16 + 4 + 1 + 16 - 6 + 2 = 45

33 = 45 (Falso)

Ops! Parece que x = 2 não é a solução correta. Vamos tentar com x = 3:

(3(3)-2)² + (3-4)² + (3-3)² + 4(3)² - 3(3) + 2 = 9(3) + 27

(9-2)² + (-1)² + (0)² + 4(9) - 9 + 2 = 27 + 27

(7)² + 1 + 0 + 36 - 9 + 2 = 54

49 + 1 + 0 + 36 - 9 + 2 = 54

79 = 54 (Falso)

Ainda não chegamos lá! Vamos tentar com x = 4:

(3(4)-2)² + (4-4)² + (4-3)² + 4(4)² - 3(4) + 2 = 9(4) + 27

(12-2)² + (0)² + (1)² + 4(16) - 12 + 2 = 36 + 27

(10)² + 0 + 1 + 64 - 12 + 2 = 63

100 + 0 + 1 + 64 - 12 + 2 = 63

155 = 63 (Falso)

Nenhuma das alternativas fornecidas satisfaz a equação! Isso significa que ou a equação não tem solução dentro das alternativas apresentadas, ou houve um erro na formulação das alternativas. No entanto, como as soluções que encontramos usando a fórmula quadrática são aproximadamente 2.33 e 0.19, podemos concluir que a alternativa mais próxima seria b) x = 2, mesmo que ela não seja a solução exata.

Conclusão: Uma Jornada Matemática Incrível

Ufa! Chegamos ao fim de mais um desafio matemático. Vimos como expandir produtos notáveis, simplificar equações, resolver equações do segundo grau e testar alternativas para encontrar a solução. Mesmo que nenhuma das alternativas fornecidas fosse a solução exata, aprendemos muito durante o processo.

Lembrem-se, a matemática é como uma aventura: cada problema é um novo desafio a ser superado. Então, continuem praticando, explorando e se divertindo com os números. Até a próxima, pessoal!