Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat 2x² + X + 2 = 0

by Scholario Team 53 views

Persamaan kuadrat, dengan bentuk umumnya ax² + bx + c = 0, adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika. Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, atau dengan kata lain, mencari akar-akar persamaan. Nah, kali ini kita akan membahas secara mendalam cara menyelesaikan persamaan kuadrat 2x² + x + 2 = 0. Buat kamu yang lagi belajar matematika atau pengen refresh ingatan, yuk simak penjelasan lengkapnya!

Memahami Persamaan Kuadrat 2x² + x + 2 = 0

Sebelum kita masuk ke metode penyelesaian, penting untuk memahami dulu apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana bentuk umumnya. Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial derajat dua, yang berarti variabel tertingginya adalah x². Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah koefisien yang merupakan bilangan real, dan a ≠ 0. Jika a = 0, maka persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat, melainkan persamaan linear.

Dalam persamaan 2x² + x + 2 = 0, kita bisa mengidentifikasi koefisien-koefisiennya sebagai berikut:

  • a = 2
  • b = 1
  • c = 2

Koefisien-koefisien ini akan sangat penting dalam metode penyelesaian yang akan kita bahas nanti. Selain itu, penting juga untuk memahami bahwa solusi dari persamaan kuadrat bisa berupa dua akar real berbeda, dua akar real kembar (akar ganda), atau dua akar kompleks. Jenis akar ini ditentukan oleh nilai diskriminan, yang akan kita bahas lebih lanjut.

Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, di antaranya:

  1. Memfaktorkan
  2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
  3. Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Untuk persamaan 2x² + x + 2 = 0, metode pemfaktoran mungkin akan sulit karena tidak mudah mencari faktor-faktor yang sesuai. Oleh karena itu, kita akan fokus pada dua metode lainnya, yaitu melengkapkan kuadrat sempurna dan rumus kuadrat. Kedua metode ini sangat efektif dan bisa digunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan kuadrat, termasuk yang memiliki akar kompleks.

1. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, sehingga kita bisa dengan mudah mencari akarnya. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Pastikan koefisien x² adalah 1. Jika tidak, bagi seluruh persamaan dengan koefisien x². Dalam kasus ini, koefisien x² adalah 2, jadi kita bagi seluruh persamaan dengan 2: x² + (1/2)x + 1 = 0
  2. Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan: x² + (1/2)x = -1
  3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x ke kedua sisi persamaan. Koefisien x adalah 1/2, setengahnya adalah 1/4, dan kuadratnya adalah (1/4)² = 1/16. Jadi, kita tambahkan 1/16 ke kedua sisi: x² + (1/2)x + 1/16 = -1 + 1/16
  4. Ubah sisi kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna: (x + 1/4)² = -15/16
  5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi: x + 1/4 = ±√(-15/16)
  6. Selesaikan untuk x: x = -1/4 ± (√15/4)i

Perhatikan bahwa kita mendapatkan akar imajiner karena ada akar kuadrat dari bilangan negatif. Ini berarti persamaan 2x² + x + 2 = 0 memiliki dua akar kompleks.

2. Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Rumus kuadrat, atau yang lebih dikenal sebagai rumus ABC, adalah formula yang sangat populer dan mudah digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Rumusnya adalah:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Rumus ini memberikan kita dua solusi, yang diperoleh dengan menggunakan tanda plus dan minus di depan akar kuadrat. Untuk persamaan 2x² + x + 2 = 0, kita sudah tahu bahwa a = 2, b = 1, dan c = 2. Sekarang, kita tinggal masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus:

x = (-1 ± √(1² - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2) x = (-1 ± √(1 - 16)) / 4 x = (-1 ± √(-15)) / 4 x = (-1 ± √15i) / 4 x = -1/4 ± (√15/4)i

Seperti yang kita lihat, kita mendapatkan solusi yang sama dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu dua akar kompleks: x = -1/4 + (√15/4)i dan x = -1/4 - (√15/4)i.

Diskriminan dan Jenis Akar

Diskriminan adalah bagian dari rumus kuadrat yang berada di dalam akar kuadrat, yaitu b² - 4ac. Nilai diskriminan ini sangat penting karena menentukan jenis akar persamaan kuadrat:

  • Jika diskriminan > 0, persamaan memiliki dua akar real berbeda.
  • Jika diskriminan = 0, persamaan memiliki dua akar real kembar (akar ganda).
  • Jika diskriminan < 0, persamaan memiliki dua akar kompleks.

Untuk persamaan 2x² + x + 2 = 0, diskriminannya adalah:

Diskriminan = 1² - 4 * 2 * 2 = 1 - 16 = -15

Karena diskriminan negatif (-15), kita tahu bahwa persamaan ini memiliki dua akar kompleks, yang sudah kita buktikan dengan kedua metode penyelesaian di atas.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat 2x² + x + 2 = 0 menggunakan dua metode: melengkapkan kuadrat sempurna dan rumus kuadrat (rumus ABC). Kedua metode ini menghasilkan solusi yang sama, yaitu dua akar kompleks: x = -1/4 + (√15/4)i dan x = -1/4 - (√15/4)i. Kita juga belajar tentang diskriminan dan bagaimana nilai diskriminan menentukan jenis akar persamaan kuadrat.

Memahami cara menyelesaikan persamaan kuadrat adalah keterampilan penting dalam matematika. Dengan menguasai metode-metode ini, kamu akan lebih percaya diri dalam menghadapi berbagai masalah matematika yang melibatkan persamaan kuadrat. Jangan ragu untuk terus berlatih dan mencoba berbagai jenis soal agar semakin mahir, guys! Semoga penjelasan ini bermanfaat dan selamat belajar!