Translasi Garis Dan Kurva Menentukan Bayangan Dan Grafiknya

by Scholario Team 60 views

Hey guys! 👋 Pernah gak sih kalian ngebayangin gimana caranya mindahin sebuah garis atau kurva di bidang koordinat? Nah, di matematika, proses mindahin ini namanya translasi. Translasi itu kayak ngegeser sesuatu tanpa mengubah bentuk atau ukurannya. Jadi, kalau kita punya garis atau kurva, kita bisa geser ke kanan, kiri, atas, atau bawah, bahkan kombinasi dari semuanya! Penasaran gimana caranya? Yuk, kita bahas tuntas tentang translasi garis dan kurva, cara menentukan bayangannya, dan grafiknya. Siap? 😎

Apa itu Translasi?

Sebelum kita masuk ke translasi garis dan kurva, kita pahami dulu konsep dasar translasi itu sendiri. Secara sederhana, translasi adalah transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada suatu objek (garis, kurva, bidang, dll.) sejauh vektor tertentu. Vektor ini yang menentukan arah dan seberapa jauh objek tersebut digeser. Misalnya, kita punya titik A(x, y) dan kita translasi dengan vektor T(a, b), maka bayangan titik A (kita sebut A') akan memiliki koordinat:

A'(x', y') = (x + a, y + b)

Artinya, koordinat x titik A ditambah dengan a, dan koordinat y titik A ditambah dengan b. Simpel kan? 😉

Representasi Vektor Translasi

Vektor translasi ini penting banget, guys! Vektor ini yang jadi kunci kita buat mindahin objek. Biasanya, vektor translasi ditulis dalam bentuk kolom seperti ini:

T =

Di mana:

  • a adalah pergeseran horizontal (positif untuk ke kanan, negatif untuk ke kiri).
  • b adalah pergeseran vertikal (positif untuk ke atas, negatif untuk ke bawah).

Misalnya, vektor T = artinya objek digeser 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. Nah, kalau vektornya T = , berarti objek digeser 1 satuan ke kiri dan 4 satuan ke bawah. Paham ya? 👍

Translasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Translasi ini bukan cuma konsep matematika abstrak lho! Sebenarnya, translasi ada di sekitar kita. Coba deh kalian perhatikan:

  • Papan catur: Pion yang digeser di atas papan catur itu contoh translasi. Pion digeser dari satu kotak ke kotak lain tanpa mengubah bentuknya.
  • Lift: Lift yang bergerak naik atau turun itu juga translasi. Lift dipindahkan secara vertikal tanpa perubahan bentuk.
  • Mobil di jalan tol: Mobil yang melaju di jalan tol dengan kecepatan konstan itu juga bisa dianggap translasi (walaupun ada faktor lain seperti rotasi dan perubahan kecepatan).

Seru kan? Matematika itu deket banget sama kehidupan kita! 🤩

Translasi Garis Lurus

Sekarang, kita fokus ke translasi garis lurus. Garis lurus itu bentuknya sederhana, tapi translasi garis ini jadi dasar buat memahami translasi kurva yang lebih kompleks. Jadi, perhatikan baik-baik ya!

Persamaan Garis Lurus

Sebelum kita translasi garis, kita ingat lagi persamaan garis lurus. Bentuk umumnya adalah:

y = mx + c

Di mana:

  • m adalah gradien (kemiringan) garis.
  • c adalah konstanta (titik potong garis dengan sumbu y).

Nah, gradien ini penting karena translasi tidak mengubah gradien garis. Artinya, kalau kita punya garis dengan gradien 2, setelah ditranslasi, gradiennya tetap 2. Yang berubah adalah konstanta c, karena garisnya bergeser.

Menentukan Bayangan Garis Lurus

Misalkan kita punya garis lurus dengan persamaan y = mx + c dan kita translasi dengan vektor T = . Gimana cara menentukan bayangan garisnya? Ada beberapa cara, tapi cara yang paling umum adalah dengan mensubstitusikan koordinat titik pada garis awal dengan koordinat titik bayangannya.

Caranya gini:

  1. Misalkan titik (x, y) terletak pada garis awal.
  2. Bayangan titik (x, y) setelah translasi adalah (x', y') = (x + a, y + b).
  3. Dari persamaan (x', y') = (x + a, y + b), kita dapatkan:
    • x = x' - a
    • y = y' - b
  4. Substitusikan x dan y ini ke persamaan garis awal (y = mx + c).
  5. Kita akan dapatkan persamaan garis bayangan dalam bentuk y' = mx' + c'.

Bingung? Tenang, kita lihat contoh soal biar lebih jelas!

Contoh Soal Translasi Garis Lurus

Soal: Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 jika ditranslasi oleh vektor T = .

Penyelesaian:

  1. Misalkan titik (x, y) terletak pada garis y = 2x + 1.
  2. Bayangan titik (x, y) setelah translasi adalah (x', y') = (x + 3, y - 2).
  3. Dari persamaan (x', y') = (x + 3, y - 2), kita dapatkan:
    • x = x' - 3
    • y = y' + 2
  4. Substitusikan x dan y ke persamaan garis awal: y' + 2 = 2(x' - 3) + 1
  5. Sederhanakan persamaan: y' + 2 = 2x' - 6 + 1 y' = 2x' - 7

Jadi, bayangan garis y = 2x + 1 setelah ditranslasi oleh vektor T = adalah y' = 2x' - 7. Atau, kita bisa tulis y = 2x - 7 (hilangkan tanda aksennya).

Lihat kan? Gradien garis tetap sama (2), yang berubah hanya konstantanya. 😉

Grafik Translasi Garis Lurus

Biar lebih kebayang, kita coba gambarkan grafiknya. Misalnya, kita punya garis y = x dan kita translasi dengan vektor T = . Garis bayangannya adalah y = x - 2. Coba perhatikan gambar di bawah ini:

(Sertakan gambar grafik garis y=x dan y=x-2 yang menunjukkan translasi)

Dari grafik, kita bisa lihat bahwa garis y = x hanya digeser ke bawah sejauh 2 satuan, tanpa mengubah kemiringannya. Keren kan? 😎

Translasi Kurva

Setelah kita paham translasi garis lurus, sekarang kita naik level ke translasi kurva. Kurva ini bentuknya bisa macem-macem, guys! Ada parabola, lingkaran, elips, hiperbola, dan lain-lain. Tapi, prinsipnya sama aja kok, yaitu menggeser semua titik pada kurva sejauh vektor translasi.

Persamaan Kurva

Setiap kurva punya persamaan yang berbeda-beda. Misalnya:

  • Parabola: y = ax² + bx + c
  • Lingkaran: (x - h)² + (y - k)² = r²
  • Elips: + = 1
  • Hiperbola: - = 1

Nah, saat kita translasi kurva, persamaannya juga akan berubah. Tapi, bentuk dasar kurvanya tetap sama. Parabola tetap jadi parabola, lingkaran tetap jadi lingkaran, dan seterusnya. Yang berubah adalah posisinya di bidang koordinat.

Menentukan Bayangan Kurva

Cara menentukan bayangan kurva mirip dengan cara menentukan bayangan garis lurus, yaitu dengan mensubstitusikan koordinat titik pada kurva awal dengan koordinat titik bayangannya.

Caranya:

  1. Misalkan titik (x, y) terletak pada kurva awal.
  2. Bayangan titik (x, y) setelah translasi adalah (x', y') = (x + a, y + b).
  3. Dari persamaan (x', y') = (x + a, y + b), kita dapatkan:
    • x = x' - a
    • y = y' - b
  4. Substitusikan x dan y ini ke persamaan kurva awal.
  5. Kita akan dapatkan persamaan kurva bayangan.

Sama kan caranya? 😉 Kita lihat contoh soal biar makin mantap!

Contoh Soal Translasi Kurva

Soal: Tentukan bayangan parabola y = x² jika ditranslasi oleh vektor T = .

Penyelesaian:

  1. Misalkan titik (x, y) terletak pada parabola y = x².
  2. Bayangan titik (x, y) setelah translasi adalah (x', y') = (x - 1, y + 3).
  3. Dari persamaan (x', y') = (x - 1, y + 3), kita dapatkan:
    • x = x' + 1
    • y = y' - 3
  4. Substitusikan x dan y ke persamaan parabola awal: y' - 3 = (x' + 1)²
  5. Sederhanakan persamaan: y' - 3 = x'² + 2x' + 1 y' = x'² + 2x' + 4

Jadi, bayangan parabola y = x² setelah ditranslasi oleh vektor T = adalah y' = x'² + 2x' + 4. Atau, kita bisa tulis y = x² + 2x + 4.

Perhatikan, bentuk dasarnya tetap parabola (ada x²), tapi posisinya sudah berubah karena translasi.

Grafik Translasi Kurva

Kita gambarkan lagi grafiknya biar lebih jelas. Misalnya, kita punya parabola y = x² dan kita translasi dengan vektor T = . Parabola bayangannya adalah y = x² + 2x + 4. Coba perhatikan gambar di bawah ini:

(Sertakan gambar grafik parabola y=x² dan y=x²+2x+4 yang menunjukkan translasi)

Dari grafik, kita bisa lihat bahwa parabola y = x² digeser ke kiri sejauh 1 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan. Bentuknya tetap sama, hanya posisinya yang berubah.

Penerapan Translasi dalam Soal-soal

Translasi ini sering muncul dalam soal-soal ujian, guys! Biasanya, soalnya bervariasi, mulai dari menentukan bayangan garis atau kurva, sampai menentukan vektor translasi yang membuat suatu objek berpindah ke posisi tertentu. Nah, biar kalian makin jago, kita bahas beberapa contoh soal yang sering muncul ya!

Soal 1: Menentukan Bayangan Titik

Soal: Titik A(2, -3) ditranslasi oleh vektor T = . Tentukan koordinat bayangan titik A.

Penyelesaian:

Bayangan titik A (A') dapat ditentukan dengan menjumlahkan koordinat titik A dengan vektor translasi:

A'(x', y') = (x + a, y + b) A'(x', y') = (2 + 4, -3 + 1) A'(x', y') = (6, -2)

Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A'(6, -2).

Soal 2: Menentukan Persamaan Garis Bayangan

Soal: Garis 2x - 3y + 5 = 0 ditranslasi oleh vektor T = . Tentukan persamaan garis bayangannya.

Penyelesaian:

  1. Misalkan titik (x, y) terletak pada garis 2x - 3y + 5 = 0.
  2. Bayangan titik (x, y) setelah translasi adalah (x', y') = (x - 2, y + 3).
  3. Dari persamaan (x', y') = (x - 2, y + 3), kita dapatkan:
    • x = x' + 2
    • y = y' - 3
  4. Substitusikan x dan y ke persamaan garis awal: 2(x' + 2) - 3(y' - 3) + 5 = 0
  5. Sederhanakan persamaan: 2x' + 4 - 3y' + 9 + 5 = 0 2x' - 3y' + 18 = 0

Jadi, persamaan garis bayangannya adalah 2x - 3y + 18 = 0.

Soal 3: Menentukan Persamaan Kurva Bayangan

Soal: Lingkaran (x - 1)² + (y + 2)² = 9 ditranslasi oleh vektor T = . Tentukan persamaan lingkaran bayangannya.

Penyelesaian:

  1. Misalkan titik (x, y) terletak pada lingkaran (x - 1)² + (y + 2)² = 9.
  2. Bayangan titik (x, y) setelah translasi adalah (x', y') = (x + 1, y - 4).
  3. Dari persamaan (x', y') = (x + 1, y - 4), kita dapatkan:
    • x = x' - 1
    • y = y' + 4
  4. Substitusikan x dan y ke persamaan lingkaran awal: (x' - 1 - 1)² + (y' + 4 + 2)² = 9
  5. Sederhanakan persamaan: (x' - 2)² + (y' + 6)² = 9

Jadi, persamaan lingkaran bayangannya adalah (x - 2)² + (y + 6)² = 9.

Soal 4: Menentukan Vektor Translasi

Soal: Garis y = 3x - 1 ditranslasi sehingga bayangannya adalah garis y = 3x + 5. Tentukan vektor translasi yang mungkin.

Penyelesaian:

Kita tahu bahwa translasi tidak mengubah gradien garis. Jadi, gradien garis awal dan garis bayangan sama, yaitu 3. Yang berubah adalah konstantanya.

Misalkan vektor translasi adalah T = . Kita substitusikan seperti biasa:

  1. Misalkan titik (x, y) terletak pada garis y = 3x - 1.
  2. Bayangan titik (x, y) setelah translasi adalah (x', y') = (x + a, y + b).
  3. Dari persamaan (x', y') = (x + a, y + b), kita dapatkan:
    • x = x' - a
    • y = y' - b
  4. Substitusikan x dan y ke persamaan garis awal: y' - b = 3(x' - a) - 1
  5. Sederhanakan persamaan: y' - b = 3x' - 3a - 1 y' = 3x' - 3a - 1 + b

Garis bayangannya adalah y = 3x + 5. Jadi, kita punya persamaan:

-3a - 1 + b = 5 b - 3a = 6

Persamaan ini punya banyak solusi, karena ada dua variabel (a dan b) tapi hanya satu persamaan. Kita bisa pilih salah satu variabel, misalnya a = 0, maka b = 6. Jadi, salah satu vektor translasi yang mungkin adalah T = . Ada banyak vektor lain yang memenuhi, misalnya T = , T = , dan seterusnya.

Kesimpulan

Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang translasi garis dan kurva! Gimana, guys? Udah makin paham kan? 😎 Intinya, translasi itu adalah pergeseran objek tanpa mengubah bentuk atau ukurannya. Kita bisa menentukan bayangan garis atau kurva dengan mensubstitusikan koordinat titik pada objek awal dengan koordinat titik bayangannya. Translasi ini sering muncul dalam soal-soal ujian, jadi penting banget buat kalian kuasai. 💪

Jangan lupa terus latihan soal ya! Semakin banyak latihan, semakin jago kalian. 😉 Kalau ada pertanyaan, jangan sungkan buat tanya di kolom komentar. Semangat belajar! 🔥