Transformada De Laplace De Sin(t)u(t) E Resolução De Equações Diferenciais

A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa, utilizada extensivamente na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT). Ela permite converter equações diferenciais, que descrevem o comportamento dinâmico de muitos sistemas físicos e de engenharia, em equações algébricas mais fáceis de manipular. Uma das funções mais comuns encontradas em problemas de engenharia é a função seno multiplicada pela função degrau unitário, sin(t)u(t). Este artigo explora a transformada de Laplace dessa função específica e discute como essa transformação auxilia na resolução de equações diferenciais, especialmente em sistemas instáveis.

Qual é a Transformada de Laplace de sin(t)u(t)?

Para entendermos a importância da transformada de Laplace, vamos começar determinando a transformada de Laplace da função sin(t)u(t). A transformada de Laplace, denotada por L{f(t)}, de uma função f(t) é definida pela integral:

L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)e^(-st) dt

onde 's' é uma variável complexa (s = σ + jω), e a integral é calculada de 0 a infinito. No nosso caso, f(t) = sin(t)u(t), onde u(t) é a função degrau unitário, que é 0 para t < 0 e 1 para t ≥ 0. Portanto, a integral se torna:

L{sin(t)u(t)} = ∫₀^∞ sin(t)e^(-st) dt

Para resolver essa integral, podemos utilizar integração por partes ou reconhecer que a integral está relacionada à transformada de Laplace de funções exponenciais complexas. A função seno pode ser expressa usando a fórmula de Euler como:

sin(t) = (e^(jt) - e^(-jt)) / (2j)

Substituindo isso na integral, temos:

L{sin(t)u(t)} = ∫₀^∞ [(e^(jt) - e^(-jt)) / (2j)]e^(-st) dt

Podemos separar a integral em duas partes:

L{sin(t)u(t)} = (1 / (2j)) [∫₀^∞ e^((j-s)t) dt - ∫₀^∞ e^((-j-s)t) dt]

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

∫₀^∞ e^((j-s)t) dt = [e^((j-s)t) / (j-s)]₀^∞

∫₀^∞ e^((-j-s)t) dt = [e^((-j-s)t) / (-j-s)]₀^∞

Para que essas integrais convirjam, a parte real de 's' deve ser maior que zero (Re(s) > 0). Avaliando os limites, obtemos:

∫₀^∞ e^((j-s)t) dt = -1 / (j-s) = 1 / (s-j)

∫₀^∞ e^((-j-s)t) dt = 1 / (j+s)

Substituindo esses resultados de volta na expressão da transformada de Laplace:

L{sin(t)u(t)} = (1 / (2j)) [1 / (s-j) - 1 / (s+j)]

L{sin(t)u(t)} = (1 / (2j)) [(s+j - (s-j)) / ((s-j)(s+j))]

L{sin(t)u(t)} = (1 / (2j)) [2j / (s² + 1)]

Simplificando, obtemos:

L{sin(t)u(t)} = 1 / (s² + 1)

Portanto, a transformada de Laplace de sin(t)u(t) é 1 / (s² + 1). Essa é uma das transformadas mais fundamentais e aparece frequentemente na análise de sistemas dinâmicos. A capacidade de transformar uma função sinusoidal, que oscila no tempo, em uma função algébrica no domínio 's' simplifica enormemente a análise e o projeto de sistemas.

Como a Transformada de Laplace Ajuda a Resolver Equações Diferenciais em Sistemas Instáveis?

A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente aquelas que descrevem sistemas instáveis. Sistemas instáveis são aqueles cuja resposta ao tempo cresce indefinidamente, o que pode levar a comportamentos indesejados ou até mesmo perigosos em aplicações práticas. Para entender como a transformada de Laplace ajuda, vamos seguir os passos envolvidos na solução de uma equação diferencial:

1. Transformação: Aplica-se a transformada de Laplace a ambos os lados da equação diferencial. Usando propriedades da transformada de Laplace, como a linearidade e a transformada da derivada, a equação diferencial no domínio do tempo é convertida em uma equação algébrica no domínio da frequência 's'.

2. Manipulação Algébrica: Resolve-se a equação algébrica resultante para encontrar a transformada de Laplace da solução, denotada como Y(s), onde Y(s) = L{y(t)} e y(t) é a solução da equação diferencial.

3. Transformação Inversa: Aplica-se a transformada inversa de Laplace a Y(s) para obter a solução y(t) no domínio do tempo. A transformada inversa, denotada por L⁻¹{Y(s)}, retorna a função no tempo correspondente à sua representação no domínio da frequência.

Benefícios da Transformada de Laplace na Análise de Estabilidade

1. Simplificação da Equação: A transformada de Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas, que são geralmente mais fáceis de resolver. Isso é particularmente útil para sistemas complexos descritos por equações diferenciais de alta ordem.

2. Incorporação de Condições Iniciais: A transformada de Laplace lida naturalmente com condições iniciais, que são essenciais para obter a solução única de uma equação diferencial. As condições iniciais são automaticamente incluídas na equação algébrica no domínio 's'.

3. Análise da Estabilidade: A transformada de Laplace é crucial para analisar a estabilidade de sistemas. A estabilidade de um sistema é determinada pelas raízes do denominador da função de transferência no domínio 's', conhecidas como polos. Se todos os polos tiverem parte real negativa, o sistema é estável. Se algum polo tiver parte real positiva, o sistema é instável. Polos no eixo imaginário indicam estabilidade marginal.

4. Função de Transferência: A transformada de Laplace permite representar um sistema por sua função de transferência, que é a razão entre a transformada da saída e a transformada da entrada. A função de transferência fornece uma maneira concisa de descrever o comportamento dinâmico do sistema e é fundamental para a análise e projeto de sistemas de controle.

Exemplo de Aplicação em Sistemas Instáveis

Considere uma equação diferencial simples que descreve um sistema instável:

y''(t) - 3y'(t) + 2y(t) = u(t)

com condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0. Aqui, y(t) é a saída do sistema, e u(t) é a entrada (função degrau unitário).

1. Transformação: Aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados da equação:

L{y''(t)} - 3L{y'(t)} + 2L{y(t)} = L{u(t)}

Usando as propriedades da transformada de Laplace:

(s²Y(s) - sy(0) - y'(0)) - 3(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = 1/s

Substituindo as condições iniciais:

(s²Y(s) - s) - 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = 1/s

2. Manipulação Algébrica: Simplificamos e resolvemos para Y(s):

s²Y(s) - s - 3sY(s) + 3 + 2Y(s) = 1/s

Y(s)(s² - 3s + 2) = s - 3 + 1/s

Y(s)(s² - 3s + 2) = (s² - 3s + 1) / s

Y(s) = (s² - 3s + 1) / [s(s² - 3s + 2)]

Y(s) = (s² - 3s + 1) / [s(s - 1)(s - 2)]

3. Transformação Inversa: Realizamos a decomposição em frações parciais para facilitar a transformada inversa:

Y(s) = A/s + B/(s - 1) + C/(s - 2)

Resolvendo para A, B e C:

s² - 3s + 1 = A(s - 1)(s - 2) + Bs(s - 2) + Cs(s - 1)

Para s = 0: 1 = 2A => A = 1/2

Para s = 1: -1 = -B => B = 1

Para s = 2: -1 = 2C => C = -1/2

Então:

Y(s) = (1/2)/s + 1/(s - 1) - (1/2)/(s - 2)

Aplicando a transformada inversa de Laplace:

y(t) = (1/2)L⁻¹{1/s} + L⁻¹{1/(s - 1)} - (1/2)L⁻¹{1/(s - 2)}

y(t) = (1/2) + e^t - (1/2)e^(2t)

Neste exemplo, a solução y(t) contém termos exponenciais com expoentes positivos (e^t e e^(2t)), indicando que o sistema é instável. A transformada de Laplace nos permitiu identificar essa instabilidade através dos polos da função de transferência, que são s = 0, s = 1 e s = 2. Os polos em s = 1 e s = 2 (partes reais positivas) confirmam a instabilidade.

Conclusão

A transformada de Laplace é uma ferramenta essencial na análise de sistemas dinâmicos, particularmente útil para resolver equações diferenciais e avaliar a estabilidade de sistemas. Ao transformar equações diferenciais no domínio do tempo em equações algébricas no domínio da frequência, ela simplifica o processo de solução e permite uma análise mais clara do comportamento do sistema. A transformada de Laplace da função sin(t)u(t), que é 1 / (s² + 1), é um exemplo fundamental de como essa transformação funciona. Em sistemas instáveis, a transformada de Laplace não só facilita a obtenção da solução, mas também fornece insights cruciais sobre a natureza da instabilidade, através da análise dos polos da função de transferência. Portanto, o domínio da transformada de Laplace é indispensável para engenheiros e cientistas que trabalham com sistemas dinâmicos.