Syarat Bilangan Asli B Dan D Agar F(x) = G(x) Memiliki Akar Real Kembar

Hey guys! Kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik nih, yaitu tentang bagaimana menentukan syarat bilangan asli b dan d agar persamaan $f(x) = g(x)$ memiliki akar real kembar. Soal ini melibatkan fungsi kuadrat, jadi kita akan sedikit bermain-main dengan konsep diskriminan. Yuk, kita mulai!

Pendahuluan: Memahami Akar Real Kembar dan Diskriminan

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, ada baiknya kita pahami dulu apa itu akar real kembar. Dalam persamaan kuadrat, akar real kembar terjadi ketika diskriminan (D) bernilai nol. Diskriminan ini adalah bagian dari rumus kuadrat yang berada di dalam akar, yaitu $D = B^2 - 4AC$, di mana A, B, dan C adalah koefisien dari persamaan kuadrat $Ax^2 + Bx + C = 0$. Jika diskriminan nol, maka persamaan kuadrat hanya memiliki satu solusi real (akar kembar).

Diskriminan ini sangat penting karena memberikan kita informasi tentang jenis akar yang dimiliki oleh persamaan kuadrat. Jika D > 0, persamaan memiliki dua akar real berbeda. Jika D = 0, persamaan memiliki akar real kembar. Dan jika D < 0, persamaan tidak memiliki akar real (akarnya imajiner).

Konsep ini akan menjadi kunci utama dalam menyelesaikan soal kita kali ini. Jadi, pastikan kalian benar-benar memahaminya ya!

Langkah 1: Menyusun Persamaan $f(x) = g(x)$

Okay, langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah menyusun persamaan $f(x) = g(x)$. Kita punya $f(x) = 2x^2 + bx + 10$ dan $g(x) = x^2 + 15x - d$. Jadi, kita samakan kedua fungsi ini:

$2x^2 + bx + 10 = x^2 + 15x - d$

Selanjutnya, kita pindahkan semua suku ke satu sisi persamaan agar kita mendapatkan bentuk persamaan kuadrat standar, yaitu $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2x^2 - x^2 + bx - 15x + 10 + d = 0$

Sederhanakan persamaan tersebut, dan kita akan mendapatkan:

$x^2 + (b - 15)x + (10 + d) = 0$

Nah, sekarang kita sudah punya persamaan kuadrat dalam bentuk standar. Kita bisa mengidentifikasi koefisien-koefisiennya: A = 1, B = (b - 15), dan C = (10 + d).

Langkah 2: Menerapkan Syarat Akar Real Kembar (D = 0)

Seperti yang sudah kita bahas di awal, syarat agar persamaan kuadrat memiliki akar real kembar adalah diskriminannya (D) harus sama dengan nol. Kita sudah punya rumus diskriminan, yaitu $D = B^2 - 4AC$. Kita juga sudah punya nilai A, B, dan C dari persamaan kuadrat yang kita dapatkan di langkah sebelumnya. Sekarang, mari kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus diskriminan:

$D = (b - 15)^2 - 4(1)(10 + d)$

Karena kita ingin akar real kembar, maka D harus sama dengan 0:

$(b - 15)^2 - 4(10 + d) = 0$

Selanjutnya, kita akan menjabarkan dan menyederhanakan persamaan ini:

$b^2 - 30b + 225 - 40 - 4d = 0$

$b^2 - 30b + 185 - 4d = 0$

Sekarang kita punya persamaan yang menghubungkan b dan d. Persamaan ini akan menjadi kunci untuk menentukan syarat bilangan asli b dan d.

Langkah 3: Menganalisis Persamaan dan Menentukan Syarat

Okay, kita sudah sampai di tahap yang paling seru, yaitu menganalisis persamaan yang kita dapatkan dan menentukan syarat untuk b dan d. Persamaan kita adalah:

$b^2 - 30b + 185 - 4d = 0$

Kita bisa sedikit memodifikasi persamaan ini agar d menjadi subjek:

$4d = b^2 - 30b + 185$

d = rac{b^2 - 30b + 185}{4}

Ingat, di soal disebutkan bahwa b dan d adalah bilangan asli. Ini berarti b dan d harus bilangan bulat positif. Dari persamaan di atas, kita bisa melihat bahwa d akan menjadi bilangan bulat jika $b^2 - 30b + 185$ habis dibagi 4. Selain itu, d juga harus positif, sehingga $b^2 - 30b + 185$ harus lebih besar dari 0.

Mari kita analisis lebih lanjut. Kita bisa melengkapi kuadrat pada bagian $b^2 - 30b$:

$b^2 - 30b = (b - 15)^2 - 225$

Jadi, persamaan kita menjadi:

d = rac{(b - 15)^2 - 225 + 185}{4}

d = rac{(b - 15)^2 - 40}{4}

d = rac{(b - 15)^2}{4} - 10

Dari persamaan ini, kita bisa melihat bahwa agar d menjadi bilangan bulat, maka $(b - 15)^2$ harus habis dibagi 4. Ini berarti $(b - 15)$ harus bilangan genap. Kita bisa tuliskan:

$b - 15 = 2k$, di mana k adalah bilangan bulat.

$b = 2k + 15$

Karena b adalah bilangan asli, maka k harus lebih besar atau sama dengan -7. Sekarang kita substitusikan nilai b ini ke dalam persamaan d:

d = rac{(2k)^2}{4} - 10

d = rac{4k^2}{4} - 10

$d = k^2 - 10$

Karena d juga harus bilangan asli (positif), maka $k^2$ harus lebih besar dari 10. Ini berarti |k| harus lebih besar dari $\sqrt{10}$, atau sekitar 3.16. Karena k adalah bilangan bulat, maka |k| harus lebih besar atau sama dengan 4.

Jadi, kita punya dua syarat:

1. $b = 2k + 15$, di mana k adalah bilangan bulat
2. $|k| ">=" 4, atau k >= 4 atau k <= -4

Kesimpulan: Syarat Bilangan Asli b dan d

Finally, kita sudah berhasil menentukan syarat bilangan asli b dan d agar persamaan $f(x) = g(x)$ memiliki akar real kembar. Syaratnya adalah:

• b harus berbentuk $2k + 15$, di mana k adalah bilangan bulat. Contohnya, jika k = 4, maka b = 23. Jika k = -4, maka b = 7. Dan seterusnya.
• Nilai absolut k harus lebih besar atau sama dengan 4, atau |k| >= 4.
• Dengan nilai k tersebut, kita bisa mendapatkan nilai d menggunakan rumus $d = k^2 - 10$. Misalnya, jika k = 4, maka d = 16 - 10 = 6. Jika k = -4, maka d juga 6.

Dengan memenuhi syarat-syarat ini, kita bisa memastikan bahwa persamaan kuadrat yang terbentuk dari $f(x) = g(x)$ akan memiliki akar real kembar. Gimana, guys? Cukup menantang kan soal ini? Tapi seru ya bisa mengaplikasikan konsep diskriminan dan aljabar untuk menyelesaikan masalah. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan bisa menambah pemahaman kalian tentang matematika ya! Keep learning and keep exploring!