Solução Da Equação Do Segundo Grau 4y² - 8y + 3 = 0 Passo A Passo

A equação do 2º grau, também conhecida como equação quadrática, é uma expressão matemática fundamental que aparece em diversas áreas da ciência e da engenharia. Uma equação do 2º grau completa possui a forma geral ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos e x é a incógnita que desejamos encontrar. A solução de uma equação quadrática envolve a determinação dos valores de x que satisfazem a igualdade, ou seja, que tornam a expressão igual a zero. Neste artigo, vamos explorar detalhadamente o processo de resolução da equação 4y² - 8y + 3 = 0, utilizando a fórmula de Bhaskara, um método amplamente conhecido e eficaz para encontrar as raízes de equações do 2º grau.

Para compreendermos a importância das equações do 2º grau, é essencial reconhecer suas aplicações em diversas áreas do conhecimento. Na física, por exemplo, as equações quadráticas são utilizadas para descrever o movimento de projéteis, a trajetória de objetos lançados ao ar e a relação entre distância, velocidade e aceleração em determinados sistemas. Na engenharia, elas são aplicadas no cálculo de estruturas, no projeto de circuitos elétricos e na otimização de processos. Além disso, as equações do 2º grau têm um papel fundamental na matemática financeira, sendo utilizadas para calcular juros compostos, taxas de crescimento e outros indicadores econômicos. Portanto, dominar a resolução de equações quadráticas é uma habilidade valiosa para estudantes e profissionais de diversas áreas.

Ao longo deste artigo, vamos apresentar um passo a passo detalhado de como resolver a equação 4y² - 8y + 3 = 0, desde a identificação dos coeficientes até a aplicação da fórmula de Bhaskara e a interpretação dos resultados. Vamos explorar cada etapa do processo, explicando os conceitos teóricos por trás de cada passo e fornecendo exemplos práticos para facilitar a compreensão. Nosso objetivo é tornar a resolução de equações do 2º grau acessível a todos, independentemente de seu nível de conhecimento em matemática. Acompanhe-nos nesta jornada e descubra como desvendar os mistérios das equações quadráticas!

Identificando os Coeficientes da Equação

O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é identificar corretamente os coeficientes a, b e c. Na equação 4y² - 8y + 3 = 0, podemos observar que o coeficiente a é o número que multiplica o termo y², ou seja, a = 4. O coeficiente b é o número que multiplica o termo y, portanto, b = -8. Já o coeficiente c é o termo independente, ou seja, o número que não está multiplicado por nenhuma incógnita, neste caso, c = 3. A identificação correta dos coeficientes é crucial, pois eles serão utilizados na fórmula de Bhaskara para calcular as raízes da equação.

É importante destacar que o sinal dos coeficientes deve ser considerado na identificação. No exemplo dado, o coeficiente b é negativo (-8), o que significa que devemos incluir o sinal negativo ao utilizá-lo na fórmula de Bhaskara. Da mesma forma, se o coeficiente c fosse negativo, também deveríamos incluir o sinal negativo em sua identificação. A omissão do sinal correto pode levar a erros no cálculo das raízes da equação. Além disso, é fundamental lembrar que, se algum dos termos da equação não estiver presente, o coeficiente correspondente será igual a zero. Por exemplo, se a equação fosse 4y² + 3 = 0, o coeficiente b seria igual a zero, pois não há termo em y na equação.

Após identificar os coeficientes, é recomendável organizá-los de forma clara e concisa, para evitar confusões durante o processo de resolução. Uma forma comum de fazer isso é escrever os coeficientes em uma lista, como a seguinte:

• a = 4
• b = -8
• c = 3

Essa organização facilita a visualização dos coeficientes e ajuda a evitar erros na aplicação da fórmula de Bhaskara. Além disso, ela permite que você verifique se identificou os coeficientes corretamente antes de prosseguir para os próximos passos da resolução. A identificação precisa dos coeficientes é a base para uma resolução bem-sucedida da equação do 2º grau. Agora que já sabemos como identificar os coeficientes, podemos avançar para o próximo passo: o cálculo do discriminante.

Calculando o Discriminante (Δ)

O discriminante, representado pela letra grega delta (Δ), é um valor fundamental na resolução de equações do 2º grau. Ele é calculado pela fórmula Δ = b² - 4ac, onde a, b e c são os coeficientes da equação. O discriminante fornece informações cruciais sobre a natureza das raízes da equação, ou seja, se a equação possui duas raízes reais e distintas, uma raiz real (ou duas raízes reais iguais) ou nenhuma raiz real. Em outras palavras, o valor do discriminante determina o número e o tipo de soluções que a equação possui.

Para calcular o discriminante da equação 4y² - 8y + 3 = 0, utilizamos os coeficientes que identificamos no passo anterior: a = 4, b = -8 e c = 3. Substituindo esses valores na fórmula do discriminante, temos:

Δ = (-8)² - 4 * 4 * 3

Δ = 64 - 48

Δ = 16

Neste caso, o discriminante é igual a 16, um valor positivo. Isso indica que a equação possui duas raízes reais e distintas, ou seja, dois valores diferentes de y que satisfazem a igualdade 4y² - 8y + 3 = 0. Se o discriminante fosse igual a zero, a equação teria apenas uma raiz real (ou duas raízes reais iguais). Se o discriminante fosse negativo, a equação não teria raízes reais, mas sim duas raízes complexas.

O cálculo do discriminante é um passo essencial na resolução de equações do 2º grau, pois ele nos permite determinar a natureza das raízes antes mesmo de calcular seus valores. Isso pode ser útil em diversas situações, como na resolução de problemas que exigem apenas saber se a equação possui soluções reais ou não. Além disso, o discriminante é utilizado na fórmula de Bhaskara, que é o próximo passo em nosso processo de resolução. Portanto, dominar o cálculo do discriminante é fundamental para resolver equações do 2º grau de forma eficiente e precisa. Agora que já calculamos o discriminante, podemos avançar para o cálculo das raízes da equação utilizando a fórmula de Bhaskara.

Aplicando a Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é uma ferramenta poderosa para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau. Ela é dada pela seguinte expressão:

y = (-b ± √Δ) / 2a

Onde y representa as raízes da equação, a e b são os coeficientes da equação e Δ é o discriminante que calculamos no passo anterior. A fórmula de Bhaskara nos fornece duas possíveis soluções para a equação, uma com o sinal de mais (+) e outra com o sinal de menos (-) antes da raiz quadrada do discriminante. Essas duas soluções correspondem às duas raízes da equação, caso existam.

Para aplicar a fórmula de Bhaskara na equação 4y² - 8y + 3 = 0, utilizamos os coeficientes a = 4, b = -8 e o discriminante Δ = 16 que calculamos anteriormente. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

y = (-(-8) ± √16) / 2 * 4

y = (8 ± 4) / 8

Agora, podemos calcular as duas raízes da equação, uma com o sinal de mais e outra com o sinal de menos:

y1 = (8 + 4) / 8 = 12 / 8 = 3/2

y2 = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 1/2

Portanto, as raízes da equação 4y² - 8y + 3 = 0 são y1 = 3/2 e y2 = 1/2. Isso significa que esses dois valores de y satisfazem a igualdade, ou seja, tornam a expressão 4y² - 8y + 3 igual a zero. A fórmula de Bhaskara é uma ferramenta essencial para resolver equações do 2º grau, pois ela nos permite encontrar as raízes da equação de forma sistemática e precisa. No entanto, é importante lembrar que a fórmula de Bhaskara só pode ser aplicada se a equação estiver na forma geral ax² + bx + c = 0. Se a equação estiver em outra forma, é necessário realizar algumas manipulações algébricas para transformá-la na forma geral antes de aplicar a fórmula. Agora que já calculamos as raízes da equação, podemos interpretá-las e verificar se elas estão corretas.

Interpretando e Verificando as Raízes

Após calcular as raízes de uma equação do 2º grau, é fundamental interpretá-las e verificar se elas estão corretas. A interpretação das raízes envolve analisar o que elas representam no contexto do problema ou da situação em que a equação foi aplicada. Por exemplo, se a equação representa a trajetória de um projétil, as raízes podem representar os momentos em que o projétil atinge uma determinada altura. Se a equação representa o lucro de uma empresa, as raízes podem representar os níveis de produção em que a empresa não tem lucro nem prejuízo.

No caso da equação 4y² - 8y + 3 = 0, as raízes que encontramos foram y1 = 3/2 e y2 = 1/2. Para verificar se essas raízes estão corretas, podemos substituí-las na equação original e verificar se a igualdade é satisfeita. Substituindo y1 = 3/2 na equação, temos:

4 * (3/2)² - 8 * (3/2) + 3 = 4 * (9/4) - 12 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0

Como a igualdade é satisfeita, y1 = 3/2 é uma raiz correta da equação. Substituindo y2 = 1/2 na equação, temos:

4 * (1/2)² - 8 * (1/2) + 3 = 4 * (1/4) - 4 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0

Novamente, a igualdade é satisfeita, o que confirma que y2 = 1/2 também é uma raiz correta da equação. A verificação das raízes é um passo importante, pois ajuda a identificar possíveis erros nos cálculos ou na aplicação da fórmula de Bhaskara. Se as raízes não satisfazem a equação, é necessário revisar os cálculos e verificar se houve algum erro. Além disso, a verificação das raízes nos dá mais confiança na solução encontrada e nos permite utilizá-la de forma segura em aplicações práticas. A interpretação e a verificação das raízes são etapas essenciais na resolução de equações do 2º grau, pois elas garantem que a solução encontrada seja coerente com o problema e possa ser utilizada de forma confiável. Com as raízes interpretadas e verificadas, podemos concluir a resolução da equação e utilizar os resultados em diversas aplicações.

Conclusão

Neste artigo, exploramos o processo de resolução da equação do 2º grau 4y² - 8y + 3 = 0, desde a identificação dos coeficientes até a interpretação e verificação das raízes. Vimos que a equação possui duas raízes reais e distintas, y1 = 3/2 e y2 = 1/2, que podem ser encontradas utilizando a fórmula de Bhaskara. A resolução de equações do 2º grau é uma habilidade fundamental em diversas áreas do conhecimento, como física, engenharia e matemática financeira, e dominar esse processo é essencial para estudantes e profissionais que lidam com problemas que envolvem relações quadráticas.

Ao longo do artigo, destacamos a importância de cada etapa do processo de resolução, desde a identificação correta dos coeficientes até o cálculo do discriminante e a aplicação da fórmula de Bhaskara. Cada passo tem um papel crucial na obtenção da solução correta, e a compreensão dos conceitos teóricos por trás de cada passo é fundamental para resolver equações do 2º grau de forma eficiente e precisa. Além disso, enfatizamos a importância da interpretação e verificação das raízes, pois essas etapas garantem que a solução encontrada seja coerente com o problema e possa ser utilizada de forma confiável.

A resolução de equações do 2º grau é apenas um exemplo das muitas aplicações da matemática em nosso dia a dia. A matemática está presente em diversas áreas de nossas vidas, desde o planejamento financeiro até a construção de edifícios e o desenvolvimento de tecnologias. Ao dominarmos os conceitos matemáticos e aprendermos a aplicá-los na resolução de problemas, abrimos portas para um mundo de possibilidades e nos tornamos mais capazes de enfrentar os desafios que surgem em nosso caminho. Esperamos que este artigo tenha sido útil para você e que o conhecimento adquirido possa ser aplicado em suas atividades acadêmicas e profissionais. Continue explorando o fascinante mundo da matemática e descubra como ela pode transformar sua vida!