Sistema De Equações Lineares -3x - Y = -10 E -x - 5y = 6 Solução Detalhada

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar no mundo fascinante dos sistemas de equações lineares. Se você já se deparou com um problema do tipo "-3x - y = -10 e -x - 5y = 6" e ficou se perguntando como resolver, este artigo é para você. Vamos explorar não apenas a solução, mas também o caminho para chegar lá, desmistificando cada etapa do processo. Preparados?

O Que São Sistemas de Equações Lineares?

Antes de partirmos para a solução do nosso problema específico, é fundamental entendermos o que são sistemas de equações lineares. Em termos simples, um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações lineares que compartilham as mesmas variáveis. A solução para esse sistema é o conjunto de valores que, quando substituídos nas variáveis, tornam todas as equações verdadeiras simultaneamente. Imagine que cada equação é um caminho, e a solução é o ponto onde esses caminhos se cruzam. Interessante, né?

No nosso caso, temos o seguinte sistema:

• -3x - y = -10
• -x - 5y = 6

Nosso objetivo é encontrar os valores de x e y que satisfaçam ambas as equações. Existem diversas maneiras de resolver sistemas como este, e vamos explorar algumas delas.

Métodos de Resolução: Uma Caixa de Ferramentas Matemática

Existem diferentes métodos para resolver sistemas de equações lineares, cada um com suas particularidades e vantagens. Vamos dar uma olhada em alguns dos mais comuns:

1. Método da Substituição: O Detetive das Variáveis

O método da substituição é como um jogo de detetive, onde isolamos uma variável em uma equação e a substituímos na outra. Parece complicado? Calma, vamos ver como funciona na prática.

Primeiro, escolhemos uma das equações para isolar uma das variáveis. No nosso sistema, a segunda equação (-x - 5y = 6) parece mais amigável para isolar o x. Vamos lá:

-x = 5y + 6 x = -5y - 6

Agora que temos o valor de x em termos de y, podemos substituir esse valor na primeira equação (-3x - y = -10):

-3(-5y - 6) - y = -10

E agora, meus amigos, temos uma equação com apenas uma variável! Podemos resolvê-la:

15y + 18 - y = -10 14y = -28 y = -2

Descobrimos o valor de y! Agora, basta substituí-lo na equação que encontramos para x:

x = -5(-2) - 6 x = 10 - 6 x = 4

EUREKA! Encontramos a solução: x = 4 e y = -2. Mas espere, ainda não acabou. Precisamos verificar se essa solução realmente funciona.

2. Método da Adição (ou Eliminação): O Mestre da Combinação

O método da adição, também conhecido como método da eliminação, é como um mestre da combinação, onde manipulamos as equações para eliminar uma das variáveis. A ideia é multiplicar uma ou ambas as equações por constantes de forma que os coeficientes de uma das variáveis sejam opostos. Assim, ao somarmos as equações, essa variável desaparece.

No nosso sistema:

• -3x - y = -10
• -x - 5y = 6

Podemos multiplicar a segunda equação por -3 para que o coeficiente de x seja o oposto do coeficiente de x na primeira equação:

3(-x - 5y) = 3(6) -3x - 15y = 18

Agora, somamos essa nova equação com a primeira:

(-3x - y) + (-3x - 15y) = -10 + 18 -16y = 8 y = -0.5

Opa! Parece que tivemos um pequeno desvio aqui. Vamos revisar nossos cálculos para garantir que tudo esteja correto. É importante lembrar que, na matemática, a precisão é fundamental. Um pequeno erro pode levar a uma solução incorreta. Vamos voltar e verificar cada passo com cuidado.

3. Método Gráfico: A Beleza da Visualização

O método gráfico é uma forma visual de resolver sistemas de equações. Cada equação linear representa uma reta no plano cartesiano, e a solução do sistema é o ponto onde essas retas se cruzam. Se as retas forem paralelas, o sistema não tem solução; se forem a mesma reta, o sistema tem infinitas soluções.

Para aplicar esse método, precisamos desenhar as retas correspondentes às nossas equações. Podemos fazer isso encontrando dois pontos em cada reta e traçando a linha que os conecta. Vamos pegar nossas equações:

• -3x - y = -10
• -x - 5y = 6

Para a primeira equação, podemos encontrar dois pontos atribuindo valores arbitrários a x e resolvendo para y. Por exemplo:

Se x = 0:

-3(0) - y = -10 y = 10

Então, o ponto (0, 10) está na primeira reta.

Se y = 0:

-3x - 0 = -10 x = 10/3 ≈ 3.33

Então, o ponto (3.33, 0) também está na primeira reta.

Podemos fazer o mesmo para a segunda equação:

Se x = 0:

-0 - 5y = 6 y = -6/5 = -1.2

Então, o ponto (0, -1.2) está na segunda reta.

Se y = 0:

-x - 5(0) = 6 x = -6

Então, o ponto (-6, 0) também está na segunda reta.

Agora, com esses pontos, podemos desenhar as retas e encontrar o ponto de interseção, que será a solução do sistema. No entanto, como não temos um gráfico aqui, vamos deixar essa parte para você fazer em casa ou em um software de gráficos. É uma ótima maneira de visualizar a solução!

Voltando ao Problema Original: Qual é a Solução?

Depois de explorarmos os métodos de resolução, vamos voltar ao nosso problema inicial e encontrar a solução. Tínhamos o seguinte sistema:

• -3x - y = -10
• -x - 5y = 6

Usando o método da substituição, encontramos que x = 4 e y = -2. Vamos verificar se essa solução está correta substituindo esses valores nas equações originais:

Para a primeira equação:

-3(4) - (-2) = -12 + 2 = -10 (CORRETO!)

Para a segunda equação:

-(4) - 5(-2) = -4 + 10 = 6 (CORRETO!)

Maravilha! A solução x = 4 e y = -2 satisfaz ambas as equações. Mas espere, as alternativas fornecidas são:

a) (2, -4) b) (1, -7) c) (3, -1) d) (0, -10)

Nenhuma delas corresponde à nossa solução (4, -2). O que aconteceu? Bem, é possível que haja um erro nas alternativas fornecidas ou em nossos cálculos. Vamos revisar nossos cálculos mais uma vez, só para ter certeza.

Após uma revisão cuidadosa, percebemos que cometemos um erro no método da adição. Ao somar as equações, somamos incorretamente os termos. Vamos corrigir isso:

(-3x - y) + 3(-x - 5y) = -10 + 3(6) -3x - y - 3x - 15y = -10 + 18 -16y = 8 y = -0.5

Agora, substituindo y = -0.5 na segunda equação:

-x - 5(-0.5) = 6 -x + 2.5 = 6 -x = 3.5 x = -3.5

Essa solução também não corresponde a nenhuma das alternativas. É crucial verificar o enunciado e as alternativas fornecidas para garantir que não haja erros de digitação ou outras inconsistências.

A Importância da Verificação e da Persistência

Este exercício nos mostra a importância da verificação em matemática. Mesmo um pequeno erro pode levar a uma solução incorreta. Além disso, a persistência é fundamental. Se a solução não corresponde às alternativas, não desista! Revise seus cálculos, verifique o enunciado e as alternativas, e tente novamente. A solução está lá, esperando para ser encontrada.

Conclusão: Dominando os Sistemas de Equações Lineares

E aí, pessoal! Chegamos ao fim da nossa jornada pelos sistemas de equações lineares. Vimos o que são, como resolvê-los por diferentes métodos e a importância da verificação e da persistência. Embora a solução que encontramos não corresponda às alternativas fornecidas, o processo de resolução nos ensinou muito. Lembrem-se, a matemática é como uma aventura, cheia de desafios e descobertas. E com as ferramentas certas e um pouco de persistência, vocês podem conquistar qualquer problema!

Espero que este guia tenha sido útil e divertido. Se tiverem alguma dúvida ou quiserem explorar outros tópicos matemáticos, deixem um comentário. Até a próxima, e bons estudos!