Simplificar Expressão (3x+7)(3x-7) E Solução Da Equação Passo A Passo

Olá, pessoal! Hoje vamos desvendar juntos a expressão matemática (3x+7)(3x-7), simplificando-a e resolvendo a equação resultante. Este é um tema fundamental em álgebra, e entender esses conceitos pode abrir portas para resolver problemas mais complexos. Vamos explorar como a identidade notável da diferença de quadrados pode simplificar essa expressão e como podemos encontrar os valores de x que satisfazem a equação. Então, preparem-se para mergulhar no mundo da matemática e descobrir como essas técnicas podem ser aplicadas em diversas situações.

Simplificação da Expressão (3x+7)(3x-7)

Quando nos deparamos com a expressão (3x+7)(3x-7), podemos identificar uma estrutura especial que facilita a simplificação. Essa estrutura é conhecida como a diferença de quadrados. A diferença de quadrados é uma identidade notável que afirma que (a+b)(a-b) é igual a a² - b². No nosso caso, a = 3x e b = 7. Aplicar essa identidade pode transformar uma multiplicação complexa em uma subtração simples, tornando o problema muito mais fácil de resolver. Além disso, entender essa identidade é crucial para resolver equações quadráticas e simplificar expressões algébricas em geral. Então, vamos ver como essa mágica acontece na prática!

Aplicando a Diferença de Quadrados

A diferença de quadrados é uma ferramenta poderosa que simplifica multiplicações complexas. No caso de (3x+7)(3x-7), podemos aplicar a fórmula (a+b)(a-b) = a² - b². Aqui, a é 3x e b é 7. Substituindo esses valores na fórmula, temos (3x)² - (7)². Calcular esses quadrados é o próximo passo para simplificar a expressão. Elevar 3x ao quadrado significa multiplicar 3x por si mesmo, resultando em 9x². Similarmente, elevar 7 ao quadrado significa multiplicar 7 por si mesmo, resultando em 49. Portanto, a expressão simplificada se torna 9x² - 49. Essa simplificação não apenas torna a expressão mais fácil de entender, mas também facilita a resolução de equações que a envolvem. Simplificar expressões é uma habilidade fundamental em matemática, e dominar a diferença de quadrados é um passo importante nessa jornada.

Resultado da Simplificação

Após aplicarmos a diferença de quadrados na expressão (3x+7)(3x-7), chegamos ao resultado 9x² - 49. Este resultado é uma forma muito mais simples e direta de representar a expressão original. A simplificação nos permite visualizar a estrutura da expressão de forma clara, o que é crucial para resolver equações e problemas mais complexos. A expressão 9x² - 49 é uma diferença entre um termo quadrático (9x²) e uma constante (49), o que facilita a identificação de padrões e a aplicação de outras técnicas matemáticas. Além disso, essa forma simplificada é mais fácil de manipular em cálculos algébricos, tornando a resolução de problemas muito mais eficiente. Simplificar expressões é um passo fundamental na matemática, e este exemplo ilustra bem como a diferença de quadrados pode ser uma ferramenta poderosa nesse processo.

Solução da Equação 9x² - 49 = 0

Agora que simplificamos a expressão (3x+7)(3x-7) para 9x² - 49, vamos resolver a equação 9x² - 49 = 0. Resolver uma equação significa encontrar os valores de x que a tornam verdadeira. No caso desta equação, estamos procurando os valores de x que fazem com que 9x² - 49 seja igual a zero. Existem diversas maneiras de abordar essa tarefa, e vamos explorar uma das mais eficazes: isolar o termo x² e, em seguida, encontrar as raízes quadradas. Este método é particularmente útil para equações quadráticas que não possuem um termo x, como a nossa. Ao isolar o termo x², podemos simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver. Então, vamos seguir este caminho e descobrir as soluções para esta equação.

Isolando o Termo x²

O primeiro passo para resolver a equação 9x² - 49 = 0 é isolar o termo x². Isso significa que precisamos manipular a equação para que o termo 9x² fique sozinho de um lado da igualdade. Para fazer isso, podemos adicionar 49 a ambos os lados da equação. Adicionar 49 aos dois lados mantém a igualdade e nos permite eliminar o -49 do lado esquerdo. Assim, a equação se transforma em 9x² = 49. Agora, o termo 9x² está quase isolado. O próximo passo é dividir ambos os lados da equação por 9. Dividir por 9 nos permite isolar completamente o x², resultando em x² = 49/9. Agora que isolamos o x², podemos prosseguir para o próximo passo: encontrar as raízes quadradas de ambos os lados da equação. Isolar o termo x² é uma técnica fundamental na resolução de equações, e este exemplo demonstra como ela pode simplificar o processo.

Encontrando as Raízes Quadradas

Após isolarmos o termo x², chegamos à equação x² = 49/9. Para encontrar os valores de x, precisamos calcular as raízes quadradas de ambos os lados da equação. A raiz quadrada de um número é um valor que, quando multiplicado por si mesmo, resulta no número original. No caso de x², a raiz quadrada é simplesmente x. No entanto, ao calcular a raiz quadrada de 49/9, devemos lembrar que existem duas soluções: uma positiva e uma negativa. A raiz quadrada de 49 é 7, e a raiz quadrada de 9 é 3. Portanto, a raiz quadrada de 49/9 é ±7/3. Isso significa que temos duas soluções para x: x = 7/3 e x = -7/3. Encontrar as raízes quadradas é um passo crucial na resolução de equações quadráticas, e este exemplo ilustra como devemos considerar tanto as soluções positivas quanto as negativas. Ao fazer isso, garantimos que encontramos todas as possíveis soluções para a equação.

Soluções da Equação

Após calcularmos as raízes quadradas, encontramos duas soluções para a equação 9x² - 49 = 0: x = 7/3 e x = -7/3. Isso significa que existem dois valores de x que, quando substituídos na equação original, a tornam verdadeira. Essas soluções são os pontos onde a função quadrática 9x² - 49 cruza o eixo x no gráfico, representando os zeros da função. Compreender que equações quadráticas podem ter duas soluções é fundamental em matemática, pois isso afeta a forma como abordamos a resolução de problemas e a interpretação dos resultados. As soluções x = 7/3 e x = -7/3 demonstram como a álgebra pode nos fornecer respostas precisas e completas para equações complexas. Este processo de encontrar soluções é essencial em muitas áreas da matemática e suas aplicações.

Conclusão

Neste artigo, exploramos a simplificação da expressão (3x+7)(3x-7) utilizando a identidade notável da diferença de quadrados e resolvemos a equação resultante 9x² - 49 = 0. Simplificamos a expressão para 9x² - 49 e encontramos as soluções da equação, que são x = 7/3 e x = -7/3. Este processo demonstra a importância de identificar padrões e aplicar técnicas algébricas para simplificar problemas complexos. A diferença de quadrados é uma ferramenta poderosa que facilita a manipulação de expressões, e a resolução de equações quadráticas é uma habilidade fundamental em matemática. Dominar esses conceitos não apenas nos ajuda a resolver problemas específicos, mas também fortalece nossa compreensão geral da álgebra e suas aplicações. Esperamos que este guia tenha sido útil para vocês, e que continuem explorando o fascinante mundo da matemática!