Raízes Da Equação T² - 6t + 5 = 0 Passo A Passo

Ei, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar no mundo fascinante das equações quadráticas e desvendar como encontrar as raízes da equação t² - 6t + 5 = 0. Se você já se sentiu um pouco perdido com esses cálculos, não se preocupe! Preparei um guia super completo e fácil de entender para te ajudar a dominar esse tema. Vamos juntos nessa?

O Que São Equações Quadráticas?

Primeiramente, vamos entender o que são essas tais equações quadráticas. Uma equação quadrática, também conhecida como equação do segundo grau, é uma expressão matemática que pode ser escrita na forma geral: ax² + bx + c = 0, onde 'a', 'b' e 'c' são coeficientes numéricos, e 'x' é a incógnita que queremos descobrir. A grande sacada aqui é que 'a' nunca pode ser zero, senão a equação deixa de ser quadrática. Sacou?

No nosso caso, a equação t² - 6t + 5 = 0 se encaixa perfeitamente nessa forma. Podemos identificar os coeficientes da seguinte maneira:

• a = 1 (o coeficiente que acompanha o t²)
• b = -6 (o coeficiente que acompanha o t)
• c = 5 (o termo independente, que não acompanha nenhuma incógnita)

A Importância das Raízes

Agora, você pode estar se perguntando: "Tá, mas o que são essas raízes que tanto falamos?". As raízes de uma equação quadrática são os valores de 't' (ou 'x', na forma geral) que tornam a equação verdadeira. Em outras palavras, são os números que, quando substituídos no lugar de 't', fazem com que a expressão t² - 6t + 5 seja igual a zero. É como encontrar a chave certa que abre a porta para a solução!

Uma equação quadrática pode ter até duas raízes reais, uma raiz real (com multiplicidade 2) ou nenhuma raiz real (nesse caso, as raízes são números complexos). A quantidade e o tipo de raízes dependem do discriminante da equação, que já vamos aprender a calcular. Fique ligado!

Métodos para Encontrar as Raízes

Existem algumas maneiras diferentes de encontrar as raízes de uma equação quadrática. As mais comuns são:

1. Fatoração: Esse método é super eficiente quando a equação pode ser fatorada facilmente. Consiste em reescrever a equação como um produto de dois binômios. Se você encontrar dois números que multiplicados dão 'c' e somados dão 'b', bingo! Você fatorou a equação.
2. Fórmula de Bhaskara: Essa é a ferramenta mais famosa e poderosa para resolver equações quadráticas. Ela funciona para qualquer equação, independentemente de ser fatorável ou não. A fórmula é um pouco extensa, mas com a prática, você vai tirar de letra: t = (-b ± √Δ) / 2a, onde Δ = b² - 4ac é o discriminante.
3. Completar o Quadrado: Esse método é um pouco mais elaborado, mas também pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Ele envolve manipular a equação algebricamente para transformá-la em um quadrado perfeito.

No nosso caso, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é um método curinga e sempre funciona. Preparado para colocar a mão na massa?

Resolvendo a Equação t² - 6t + 5 = 0 com a Fórmula de Bhaskara

Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara na nossa equação t² - 6t + 5 = 0. Já identificamos os coeficientes: a = 1, b = -6 e c = 5. O primeiro passo é calcular o discriminante (Δ):

Δ = b² - 4ac Δ = (-6)² - 4 * 1 * 5 Δ = 36 - 20 Δ = 16

Ótimo! O discriminante é 16, que é um número positivo. Isso significa que a nossa equação tem duas raízes reais e diferentes. Agora, podemos usar a fórmula completa de Bhaskara para encontrar essas raízes:

t = (-b ± √Δ) / 2a t = (-(-6) ± √16) / 2 * 1 t = (6 ± 4) / 2

Chegamos a duas possíveis soluções:

• t₁ = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5
• t₂ = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1

EUREKA! Encontramos as raízes da equação: t₁ = 5 e t₂ = 1. Isso significa que tanto 5 quanto 1, quando substituídos no lugar de 't' na equação original, tornam a igualdade verdadeira.

Alternativas e a Resposta Correta

Agora, vamos analisar as alternativas que foram apresentadas:

A) 1 e 5 B) 2 e 3 C) 5 e 1 D) 6 e 0

Como vimos, as raízes que encontramos são 1 e 5. Portanto, as alternativas A) 1 e 5 e C) 5 e 1 estão corretas. A ordem dos números não importa, já que estamos falando de um conjunto de soluções.

Verificação das Raízes

Para ter certeza de que não cometemos nenhum erro, podemos verificar as raízes substituindo-as na equação original:

• Para t = 5:
  • 5² - 6 * 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0 (OK!)
• Para t = 1:
  • 1² - 6 * 1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0 (OK!)

As duas raízes satisfazem a equação, então podemos ter certeza de que nossa solução está correta. Show de bola!

Dicas Extras e Curiosidades

• Discriminante: O discriminante (Δ) é um número muito importante nas equações quadráticas. Ele nos diz quantas raízes reais a equação possui:

  • Se Δ > 0: a equação tem duas raízes reais e diferentes.
  • Se Δ = 0: a equação tem uma raiz real (com multiplicidade 2).
  • Se Δ < 0: a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas).

• Soma e Produto das Raízes: Existe uma relação interessante entre os coeficientes da equação e a soma e o produto das raízes. Se t₁ e t₂ são as raízes da equação at² + bt + c = 0, então:

  • Soma das raízes: t₁ + t₂ = -b/a
  • Produto das raízes: t₁ * t₂ = c/a

  No nosso caso, a soma das raízes (5 + 1) é igual a -(-6)/1 = 6, e o produto das raízes (5 * 1) é igual a 5/1 = 5. Essa relação pode ser útil para verificar se as raízes encontradas estão corretas.

• Gráfico da Função Quadrática: A equação quadrática at² + bt + c = 0 está associada a uma função quadrática f(t) = at² + bt + c. O gráfico dessa função é uma parábola. As raízes da equação são os pontos onde a parábola intercepta o eixo horizontal (eixo t). Se o discriminante é positivo, a parábola intercepta o eixo em dois pontos. Se o discriminante é zero, a parábola tangencia o eixo em um ponto. Se o discriminante é negativo, a parábola não intercepta o eixo.

Conclusão

E aí, pessoal? Conseguimos desvendar o mistério das raízes da equação t² - 6t + 5 = 0! Vimos que, usando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes 1 e 5, que correspondem às alternativas A e C. Além disso, exploramos diversos conceitos importantes sobre equações quadráticas, como o discriminante, a soma e o produto das raízes, e a relação com o gráfico da função quadrática.

Espero que este guia completo tenha te ajudado a entender melhor esse tema e a se sentir mais confiante para resolver outras equações quadráticas. Lembre-se: a prática leva à perfeição! Então, continue praticando e explorando o mundo da matemática. Se tiver alguma dúvida, deixe um comentário! 😉