Quadrados Perfeitos E Múltiplos De 7 Desafio Matemático Detalhado

Ei, pessoal! Já se pegaram pensando em como certos números parecem ter superpoderes, tipo serem quadrados perfeitos e múltiplos de outro número ao mesmo tempo? Hoje, vamos mergulhar em um desafio matemático que envolve exatamente isso. Nossa missão é descobrir quantos números inteiros positivos são, simultaneamente, quadrados perfeitos, múltiplos de 7 e estão naquele intervalo gigante entre 100.000 e 1.000.000. Parece complicado? Calma, vamos desmistificar isso juntos!

Desvendando o Problema: Quadrados Perfeitos e Múltiplos de 7

Para começar nossa jornada matemática, vamos entender o que são quadrados perfeitos e múltiplos de 7. Um quadrado perfeito é um número que pode ser obtido elevando outro número inteiro ao quadrado. Por exemplo, 9 é um quadrado perfeito porque é o resultado de 3 multiplicado por 3 (3² = 9). Já um múltiplo de 7 é qualquer número que pode ser obtido multiplicando 7 por um número inteiro (7, 14, 21, e assim por diante).

Agora, o desafio fica mais interessante: estamos procurando números que atendam a esses dois critérios e estejam dentro de uma faixa específica (100.000 a 1.000.000). Para um número ser simultaneamente um quadrado perfeito e um múltiplo de 7, ele precisa ser o quadrado de um múltiplo de 7. Isso porque, se um número é múltiplo de 7, ele pode ser escrito como 7k, onde k é um inteiro. Se elevarmos 7k ao quadrado, obtemos (7k)² = 49k², que é claramente um múltiplo de 49 (e, portanto, também de 7) e um quadrado perfeito. Entender essa relação é crucial para resolver o problema!

A Chave para a Solução: Encontrando os Limites

O próximo passo é determinar quais múltiplos de 7, quando elevados ao quadrado, caem dentro do nosso intervalo de interesse. Precisamos encontrar o menor e o maior múltiplo de 7 cujo quadrado esteja entre 100.000 e 1.000.000. Vamos lá:

• Limite Inferior: Qual é o menor número que, ao ser multiplicado por si mesmo, resulta em um valor maior ou igual a 100.000? A raiz quadrada de 100.000 é aproximadamente 316,23. Isso significa que precisamos encontrar o menor múltiplo de 7 que seja maior ou igual a 316,23. Dividindo 316,23 por 7, obtemos aproximadamente 45,17. Portanto, o menor múltiplo de 7 que nos interessa é 7 * 46 = 322.
• Limite Superior: Agora, vamos ao limite superior. Qual é o maior número que, ao ser multiplicado por si mesmo, resulta em um valor menor ou igual a 1.000.000? A raiz quadrada de 1.000.000 é 1.000. Precisamos encontrar o maior múltiplo de 7 que seja menor ou igual a 1.000. Dividindo 1.000 por 7, obtemos aproximadamente 142,86. Portanto, o maior múltiplo de 7 que nos interessa é 7 * 142 = 994.

Com esses limites em mãos, nossa tarefa se resume a contar quantos múltiplos de 7 existem entre 322 e 994. Parece que estamos quase lá, né?

Contando os Múltiplos: A Matemática Final

Agora que definimos nossos limites, precisamos contar quantos múltiplos de 7 existem entre 322 e 994. Sabemos que 322 é o 46º múltiplo de 7 (7 * 46) e 994 é o 142º múltiplo de 7 (7 * 142). Para encontrar a quantidade total de múltiplos nesse intervalo, basta subtrair o menor índice do maior e adicionar 1. A fórmula é:

Número de múltiplos = (Índice do maior múltiplo) - (Índice do menor múltiplo) + 1

Aplicando a fórmula, temos:

Número de múltiplos = 142 - 46 + 1 = 97

Ops! Quase chegamos à resposta, mas cometemos um pequeno deslize. Lembrem-se, estamos contando os múltiplos dos quadrados dos múltiplos de 7. Já encontramos os múltiplos de 7 (46 a 142) cujos quadrados estão no intervalo desejado. O que fizemos acima foi encontrar a quantidade de múltiplos de 7 dentro do intervalo das raízes quadradas. Precisamos corrigir isso.

O erro aqui foi interpretar o resultado diretamente. Encontramos que existem 97 números entre 46 e 142, mas esses são os multiplicadores de 7 antes de elevá-los ao quadrado. O que precisamos é contar quantos números inteiros n existem tal que (7n)² esteja entre 100.000 e 1.000.000. Já sabemos que esses n estão entre 46 e 142, inclusive. Portanto, o número de inteiros n é:

142 - 46 + 1 = 97

E agora? Ainda não chegamos a uma das opções de resposta. Vamos revisar nosso raciocínio.

Revisão e Ajuste Finais: Encontrando a Solução Correta

Vamos dar um passo atrás e revisar nosso raciocínio com cuidado. Identificamos corretamente que os números que procuramos são da forma (7k)², onde k é um inteiro. Também determinamos corretamente os limites para (7k)²: 100.000 e 1.000.000. A raiz quadrada desses limites nos deu uma faixa para 7k, e dividimos esses valores por 7 para encontrar uma faixa para k. Até aqui, tudo certo.

Onde parece que nos perdemos foi na interpretação final. Encontramos que k deve estar entre 45,17 e 142,86. Isso significa que k pode ser qualquer inteiro de 46 até 142. Contamos esses inteiros corretamente: 142 - 46 + 1 = 97. No entanto, percebemos que 97 não é uma das opções de resposta. Isso sugere que pode haver um erro sutil em nossos cálculos ou interpretação.

A chave aqui é perceber que estamos procurando o número de inteiros k que satisfazem a condição. Já identificamos que o menor valor de k é 46 e o maior é 142. A contagem que fizemos (142 - 46 + 1 = 97) está correta para o número de inteiros naquele intervalo. Mas e se o erro estiver nos limites?

Vamos recalcular os limites com mais precisão. Precisamos encontrar o menor inteiro k tal que (7k)² ≥ 100.000 e o maior inteiro k tal que (7k)² ≤ 1.000.000.

• Para o limite inferior: (7k)² ≥ 100.000 → 49k² ≥ 100.000 → k² ≥ 100.000 / 49 ≈ 2040,82. A raiz quadrada de 2040,82 é aproximadamente 45,17. Portanto, o menor inteiro k é 46.
• Para o limite superior: (7k)² ≤ 1.000.000 → 49k² ≤ 1.000.000 → k² ≤ 1.000.000 / 49 ≈ 20408,16. A raiz quadrada de 20408,16 é aproximadamente 142,86. Portanto, o maior inteiro k é 142.

Nossa contagem anterior estava correta! Existem 97 inteiros entre 46 e 142, inclusive. No entanto, ainda não temos essa opção como resposta. Onde está o erro?

Ah! O erro está em assumir que todos os quadrados de múltiplos de 7 nesse intervalo estão dentro do intervalo 100.000 a 1.000.000. Precisamos verificar se os quadrados de 7 * 46 e 7 * 142 realmente estão dentro dos limites:

• (7 * 46)² = 322² = 103.684 (OK, está acima de 100.000)
• (7 * 142)² = 994² = 988.036 (OK, está abaixo de 1.000.000)

Então, todos os quadrados dos múltiplos de 7 entre 7 * 46 e 7 * 142 estão dentro do intervalo. Nossa contagem de 97 está correta. Mas... ainda não temos essa resposta.

Espere! Acho que encontramos o erro final. Estamos contando todos os números k entre 46 e 142. Mas a pergunta original nos pede o número de inteiros positivos que são simultaneamente quadrados perfeitos e múltiplos de 7. Já sabemos que esses números são da forma (7k)². O que estamos contando é o número de possíveis valores de k. A resposta deve ser o número de valores inteiros de k, que já calculamos como 142 - 46 + 1 = 97. Mas isso ainda não corresponde a nenhuma das opções fornecidas.

Vamos verificar novamente as opções e nosso trabalho. Parece que houve um erro na transcrição das opções ou na formulação da pergunta. Com base em nossos cálculos, a resposta correta é 97, que não está listada. As opções fornecidas são a) 10, b) 15, c) 20, e d) 25. Nenhuma delas se encaixa com nossa solução.

Conclusão: Após uma análise detalhada e múltiplos cálculos, chegamos à conclusão de que a resposta correta para a pergunta, considerando os limites e condições fornecidas, é 97. No entanto, essa resposta não corresponde a nenhuma das opções apresentadas. Portanto, pode haver um erro nas opções ou na própria pergunta. Caso as opções estivessem corretas, teríamos que revisar todo o processo em busca de um erro, mas nossos cálculos parecem sólidos.

Reflexão Final: A Beleza da Matemática

E aí, pessoal! Que jornada matemática emocionante, não é mesmo? Exploramos quadrados perfeitos, múltiplos de 7, limites e raízes quadradas. Mesmo que a resposta final não corresponda às opções fornecidas, o processo de resolução nos ensinou muito sobre como abordar problemas complexos. A matemática é assim: às vezes, a jornada é tão importante quanto o destino. E, no final das contas, o importante é aprender e se divertir com os desafios!

Espero que tenham gostado de desvendar esse enigma comigo. Se tiverem mais desafios matemáticos, mandem pra gente! Até a próxima, pessoal!