Progressão Aritmética Cálculo Da Razão E Número De Termos

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar de cabeça no fascinante mundo da progressão aritmética (PA). Preparem-se para uma jornada cheia de números, padrões e descobertas incríveis! Nosso objetivo é desvendar os segredos de uma PA específica, onde o primeiro termo (a1) é 1/5 e o último termo (an) é 3/2. A missão? Descobrir o valor da razão (r) e o número de termos (n). Parece complicado? Relaxem! Com a nossa análise detalhada, vocês vão dominar esse conceito rapidinho.

O Que é uma Progressão Aritmética, Afinal?

Para começarmos com o pé direito, vamos relembrar o que define uma progressão aritmética. Imaginem uma sequência de números onde a diferença entre cada termo e seu antecessor é sempre a mesma. Essa diferença constante é o que chamamos de razão. Em outras palavras, para chegar ao próximo termo, basta somar a razão ao termo anterior. Simples, não é?

Fórmula do Termo Geral da PA: A Chave para Desvendar o Mistério

A fórmula do termo geral é a nossa principal ferramenta para resolver problemas de PA. Ela nos permite encontrar qualquer termo da sequência, desde que conheçamos o primeiro termo, a razão e a posição do termo desejado. A fórmula é a seguinte:

an = a1 + (n - 1) * r

Onde:

• an é o termo que queremos encontrar
• a1 é o primeiro termo
• n é a posição do termo na sequência
• r é a razão

Com essa fórmula em mãos, estamos prontos para atacar o nosso problema!

Desvendando a PA: Primeiro Termo, Último Termo e a Busca pela Razão e Número de Termos

No nosso caso, temos as seguintes informações:

• a1 = 1/5
• an = 3/2

Precisamos encontrar r e n. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral e algumas estratégias matemáticas.

Passo 1: Aplicando a Fórmula do Termo Geral

Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos:

3/2 = 1/5 + (n - 1) * r

Essa equação parece um pouco assustadora, mas calma! Vamos simplificá-la passo a passo.

Passo 2: Simplificando a Equação

Primeiro, vamos nos livrar das frações. Para isso, podemos multiplicar todos os termos da equação pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores, que é 10:

10 * (3/2) = 10 * (1/5) + 10 * (n - 1) * r

Isso nos dá:

15 = 2 + 10 * (n - 1) * r

Agora, vamos isolar o termo com r:

13 = 10 * (n - 1) * r

Passo 3: Analisando as Alternativas e Encontrando a Solução

Neste ponto, temos uma equação com duas incógnitas (n e r). Para resolver esse problema, vamos analisar as alternativas fornecidas e verificar qual delas satisfaz a equação.

As alternativas são:

• a) r = 1/3 e n = 5
• b) r = 13/40 e n = 9
• c) r = 1/2 e n = 6
• d) r = 13/50 e n = 6
• e) r = 7/30 e n = 8

Vamos testar cada alternativa na equação 13 = 10 * (n - 1) * r:

• Alternativa a): 13 = 10 * (5 - 1) * (1/3) -> 13 = 40/3 (Falso)
• Alternativa b): 13 = 10 * (9 - 1) * (13/40) -> 13 = 26 (Falso)
• Alternativa c): 13 = 10 * (6 - 1) * (1/2) -> 13 = 25 (Falso)
• Alternativa d): 13 = 10 * (6 - 1) * (13/50) -> 13 = 13 (Verdadeiro)
• Alternativa e): 13 = 10 * (8 - 1) * (7/30) -> 13 = 49/3 (Falso)

Como podemos ver, apenas a alternativa d) satisfaz a equação. Portanto, a razão r é igual a 13/50 e o número de termos n é igual a 6.

Conclusão Uma Jornada Matemática Concluída com Sucesso

Ufa! Chegamos ao fim da nossa jornada matemática. Desvendamos os segredos da progressão aritmética e encontramos os valores de r e n. Através da fórmula do termo geral e de uma análise cuidadosa das alternativas, fomos capazes de resolver o problema. E aí, gostaram da aventura? Espero que sim!

Lembrem-se, a matemática pode parecer um bicho de sete cabeças às vezes, mas com dedicação, prática e as ferramentas certas, podemos superar qualquer desafio. Continuem explorando, aprendendo e se divertindo com os números! E até a próxima, pessoal!

Entendendo a Progressão Aritmética e o Desafio Proposto

E aí, pessoal do mundo da matemática! Preparados para mais um desafio? Hoje, vamos mergulhar no universo das progressões aritméticas (PAs) e resolver um problema super interessante. Imagine a seguinte situação: temos uma PA com um número desconhecido de termos (n) e uma razão (r) que também precisamos descobrir. Sabemos que o primeiro termo (a1) é 1/5 e o último termo (an) é 3/2. A nossa missão? Encontrar os valores de r e n. Parece complicado? Calma, que vamos desvendar esse mistério juntos!

O Que Torna uma Sequência uma Progressão Aritmética?

Antes de resolvermos o problema, vamos relembrar o conceito fundamental de progressão aritmética. Uma PA é uma sequência numérica onde a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é o que chamamos de razão (r). Em outras palavras, para passar de um termo para o próximo, basta somar a razão. Essa simples regra gera uma infinidade de padrões e propriedades matemáticas fascinantes.

A Fórmula Mágica: Termo Geral da Progressão Aritmética

Para resolver problemas de PA, temos uma ferramenta poderosa em mãos: a fórmula do termo geral. Essa fórmula nos permite calcular qualquer termo da sequência, desde que conheçamos o primeiro termo, a razão e a posição do termo que queremos encontrar. A fórmula é a seguinte:

an = a1 + (n - 1) * r

Onde:

• an é o termo que queremos calcular
• a1 é o primeiro termo da PA
• n é a posição do termo na sequência
• r é a razão da PA

Com essa fórmula em mente, estamos prontos para enfrentar o nosso desafio!

Resolvendo o Enigma: Encontrando a Razão e o Número de Termos

No problema proposto, temos as seguintes informações:

• a1 = 1/5 (o primeiro termo)
• an = 3/2 (o último termo)

O nosso objetivo é determinar os valores de r (a razão) e n (o número de termos). Para isso, vamos combinar a fórmula do termo geral com algumas estratégias inteligentes.

Passo 1: Aplicando a Fórmula do Termo Geral ao Nosso Problema

Substituindo os valores conhecidos na fórmula do termo geral, obtemos:

3/2 = 1/5 + (n - 1) * r

Essa equação relaciona as nossas incógnitas (n e r) com os valores que já conhecemos. Agora, precisamos manipular essa equação para isolar as variáveis e encontrar a solução.

Passo 2: Simplificando a Equação para Facilitar a Resolução

Para simplificar a equação, vamos nos livrar das frações. Uma maneira eficiente de fazer isso é multiplicar todos os termos da equação pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. No caso de 2 e 5, o MMC é 10. Multiplicando ambos os lados da equação por 10, temos:

10 * (3/2) = 10 * (1/5) + 10 * (n - 1) * r

Simplificando, chegamos a:

15 = 2 + 10 * (n - 1) * r

Agora, vamos isolar o termo que contém as nossas incógnitas:

13 = 10 * (n - 1) * r

Passo 3: Explorando as Alternativas e Desvendando a Solução

Neste momento, temos uma equação com duas incógnitas, o que significa que precisamos de mais informações para encontrar a solução. Felizmente, o problema nos fornece alternativas, o que facilita a nossa vida! Vamos analisar cada alternativa e verificar qual delas satisfaz a equação 13 = 10 * (n - 1) * r.

As alternativas são:

• a) r = 1/3 e n = 5
• b) r = 13/40 e n = 9
• c) r = 1/2 e n = 6
• d) r = 13/50 e n = 6
• e) r = 7/30 e n = 8

Vamos testar cada alternativa, substituindo os valores de r e n na equação:

• Alternativa a): 13 = 10 * (5 - 1) * (1/3) -> 13 = 40/3 (Falso)
• Alternativa b): 13 = 10 * (9 - 1) * (13/40) -> 13 = 26 (Falso)
• Alternativa c): 13 = 10 * (6 - 1) * (1/2) -> 13 = 25 (Falso)
• Alternativa d): 13 = 10 * (6 - 1) * (13/50) -> 13 = 13 (Verdadeiro)
• Alternativa e): 13 = 10 * (8 - 1) * (7/30) -> 13 = 49/3 (Falso)

Como podemos observar, apenas a alternativa d) torna a equação verdadeira. Portanto, a razão r é igual a 13/50 e o número de termos n é igual a 6.

Conclusão Celebrando a Descoberta da Razão e do Número de Termos

Parabéns! Conseguimos desvendar o enigma da progressão aritmética. Encontramos os valores da razão e do número de termos, utilizando a fórmula do termo geral e uma análise cuidadosa das alternativas. Essa jornada matemática nos mostrou a beleza e o poder das progressões aritméticas.

Lembrem-se, a matemática é uma ferramenta incrível para resolver problemas e entender o mundo ao nosso redor. Continuem explorando, questionando e aprendendo. E até a próxima aventura matemática!

Introdução ao Mundo das Progressões Aritméticas e um Desafio Cativante

E aí, pessoal! Tudo sussa por aí? Hoje, vamos dar um rolê pelo mundo das progressões aritméticas (PAs). Preparem-se para uma jornada cheia de números, padrões e desafios maneiros! Nosso objetivo é resolver um problema clássico de PA: descobrir a razão (r) e o número de termos (n) em uma sequência onde o primeiro termo (a1) é 1/5 e o último termo (an) é 3/2. Parece treta? Relaxem! Com a nossa explicação, vocês vão sacar tudo rapidinho.

O Que Define uma Progressão Aritmética? Desvendando o Padrão Secreto

Antes de nos aprofundarmos no problema, vamos relembrar o que é uma progressão aritmética. Imaginem uma fila de números onde a distância entre cada número e o próximo é sempre a mesma. Essa distância constante é o que chamamos de razão. Ou seja, para ir de um número para o seguinte, basta somar a razão. Essa simplicidade esconde um universo de possibilidades matemáticas!

A Fórmula Mágica do Termo Geral: Sua Arma Secreta nas PAs

A fórmula do termo geral é a nossa principal aliada para resolver problemas de PA. Ela nos permite encontrar qualquer termo da sequência, desde que saibamos o primeiro termo, a razão e a posição do termo desejado. A fórmula é a seguinte:

an = a1 + (n - 1) * r

Onde:

• an é o termo que queremos encontrar
• a1 é o primeiro termo da PA
• n é a posição do termo na sequência
• r é a razão da PA

Com essa fórmula no bolso, estamos prontos para encarar o nosso desafio!

Desvendando a PA: Rastreando a Razão e o Número de Termos Perdidos

No nosso caso, as pistas que temos são:

• a1 = 1/5 (o primeiro termo)
• an = 3/2 (o último termo)

Precisamos descobrir r (a razão) e n (o número de termos). Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral e um pouco de raciocínio estratégico.

Passo 1: Mergulhando na Fórmula do Termo Geral

Substituindo os valores conhecidos na fórmula, chegamos a:

3/2 = 1/5 + (n - 1) * r

Essa equação parece um labirinto, mas não se assustem! Vamos simplificá-la com calma.

Passo 2: Simplificando a Equação para Facilitar a Busca

O primeiro passo é eliminar as frações. Para isso, vamos multiplicar todos os termos da equação pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores, que é 10:

10 * (3/2) = 10 * (1/5) + 10 * (n - 1) * r

Simplificando, obtemos:

15 = 2 + 10 * (n - 1) * r

Agora, vamos isolar o termo que contém as incógnitas r e n:

13 = 10 * (n - 1) * r

Passo 3: Analisando as Alternativas e Encontrando o Tesouro Escondido

Neste ponto, temos uma equação com duas incógnitas, o que significa que precisamos de mais informações para resolver o problema. A boa notícia é que o problema nos oferece alternativas, o que torna a nossa busca muito mais fácil! Vamos analisar cada alternativa e verificar qual delas satisfaz a equação 13 = 10 * (n - 1) * r.

As alternativas são:

• a) r = 1/3 e n = 5
• b) r = 13/40 e n = 9
• c) r = 1/2 e n = 6
• d) r = 13/50 e n = 6
• e) r = 7/30 e n = 8

Vamos testar cada alternativa, substituindo os valores de r e n na equação:

• Alternativa a): 13 = 10 * (5 - 1) * (1/3) -> 13 = 40/3 (Falso)
• Alternativa b): 13 = 10 * (9 - 1) * (13/40) -> 13 = 26 (Falso)
• Alternativa c): 13 = 10 * (6 - 1) * (1/2) -> 13 = 25 (Falso)
• Alternativa d): 13 = 10 * (6 - 1) * (13/50) -> 13 = 13 (Verdadeiro)
• Alternativa e): 13 = 10 * (8 - 1) * (7/30) -> 13 = 49/3 (Falso)

Como podemos ver, apenas a alternativa d) encaixa perfeitamente na equação. Portanto, a razão r é 13/50 e o número de termos n é 6.

Conclusão Celebrando a Vitória na Busca pela Razão e Número de Termos

Show de bola! Conseguimos desvendar o mistério da progressão aritmética. Encontramos a razão e o número de termos, usando a fórmula do termo geral e uma análise esperta das alternativas. Essa jornada matemática nos mostrou que, com as ferramentas certas e um pouco de estratégia, podemos superar qualquer desafio.

Lembrem-se, a matemática está presente em tudo ao nosso redor. Continuem explorando, aprendendo e se divertindo com os números! E até a próxima aventura matemática!