Probabilidade De Impurezas Em Poços Uma Análise Detalhada

Introdução

A questão da probabilidade de impurezas em amostras de poços é um problema clássico que pode ser resolvido utilizando a distribuição binomial. Este artigo tem como objetivo explorar em profundidade este problema, fornecendo uma análise detalhada e passo a passo da solução. Inicialmente, vamos revisar o problema proposto: qual é a probabilidade de que, em uma amostra de 20 poços, mais de 3 poços apresentem impurezas, sabendo que a taxa de impureza é de 30%? Para responder a esta pergunta, iremos desmistificar os conceitos estatísticos envolvidos e apresentar a solução de forma clara e acessível. A distribuição binomial será a ferramenta central para resolver este problema, e explicaremos como aplicá-la corretamente.

Para começar, é crucial entender o que é a distribuição binomial e por que ela é adequada para este cenário. A distribuição binomial é utilizada para modelar o número de sucessos em uma sequência fixa de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, o "sucesso" é encontrar um poço com impurezas, e o "fracasso" é encontrar um poço sem impurezas. A independência das tentativas significa que o estado de um poço (com ou sem impurezas) não afeta o estado dos outros poços na amostra. A taxa de impureza de 30% nos fornece a probabilidade de "sucesso" em cada tentativa, que é um parâmetro essencial para a distribuição binomial.

Além disso, é importante destacar que a probabilidade que estamos procurando não é a probabilidade exata de encontrar 3 poços com impurezas, mas sim a probabilidade de encontrar mais de 3 poços com impurezas. Isso significa que precisamos calcular a probabilidade para 4, 5, 6, até 20 poços com impurezas e, em seguida, somar todas essas probabilidades. Este processo pode parecer complexo, mas vamos simplificá-lo utilizando a fórmula da distribuição binomial e algumas propriedades da probabilidade. Adicionalmente, discutiremos como as alternativas de resposta (A) 0,179, (B) 0,263, (C) 0,421 e (D) 0,578 se encaixam no contexto do problema e mostraremos qual delas é a correta através do cálculo detalhado. Ao final deste artigo, você terá uma compreensão completa de como resolver problemas de probabilidade envolvendo a distribuição binomial e estará preparado para enfrentar desafios semelhantes.

Compreendendo a Distribuição Binomial

A distribuição binomial é uma ferramenta estatística fundamental para analisar eventos com duas possíveis saídas – sucesso ou fracasso – em uma série de tentativas independentes. Neste problema, a distribuição binomial se encaixa perfeitamente, pois cada poço amostrado pode ser classificado como tendo impurezas (sucesso) ou não tendo impurezas (fracasso). A chave para compreender a distribuição binomial reside em seus três componentes principais: o número de tentativas (n), a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (p) e o número de sucessos desejados (k). No nosso caso, temos n = 20 poços, p = 0,30 (taxa de impureza) e queremos calcular a probabilidade de k > 3, ou seja, mais de 3 poços com impurezas.

A fórmula da distribuição binomial é dada por:

P(X = k) = {n in k} * p^k * (1 - p)^{(n - k)}

Onde:

• P(X = k) é a probabilidade de observar exatamente k sucessos em n tentativas.
• {n choose k} é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher k sucessos de n tentativas, calculado como n! / (k! * (n - k)!).
• p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
• (1 - p) é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.
• n é o número total de tentativas.
• k é o número de sucessos desejados.

Para calcular a probabilidade de mais de 3 poços terem impurezas, precisamos somar as probabilidades de ter 4, 5, 6, ..., até 20 poços com impurezas. Matematicamente, isso é representado como:

$$P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + ... + P(X = 20)$$

No entanto, existe uma maneira mais eficiente de calcular essa probabilidade. Podemos usar o complemento da probabilidade. O complemento de um evento é o evento que não ocorre. Neste caso, o complemento de "mais de 3 poços com impurezas" é "3 ou menos poços com impurezas". Portanto, podemos calcular a probabilidade de 3 ou menos poços com impurezas e subtrair esse valor de 1 para obter a probabilidade desejada:

$$P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)]$$

Esta abordagem simplifica os cálculos, pois precisamos calcular apenas quatro probabilidades em vez de dezessete. Entender essa propriedade do complemento é crucial para resolver problemas de probabilidade de forma eficiente. Além disso, destacamos a importância de identificar os parâmetros n e p corretamente no contexto do problema. No nosso caso, n representa o número de poços na amostra, e p representa a taxa de impureza, que é a probabilidade de um poço individual ter impurezas.

Cálculo da Probabilidade P(X ≤ 3)

Para calcular a probabilidade de 3 ou menos poços apresentarem impurezas (P(X ≤ 3)), precisamos somar as probabilidades de X = 0, X = 1, X = 2 e X = 3. Cada um desses cálculos envolve a aplicação da fórmula da distribuição binomial, que detalhamos na seção anterior. Vamos iniciar calculando cada probabilidade individualmente e, em seguida, somá-las para obter o resultado final de P(X ≤ 3).

Cálculo de P(X = 0)

Primeiro, calculamos a probabilidade de não haver poços com impurezas (X = 0). Usando a fórmula da distribuição binomial:

P(X = 0) = {20 in 0} * (0.30)^0 * (1 - 0.30)^{(20 - 0)}

O coeficiente binomial {20 choose 0} é igual a 1, pois há apenas uma maneira de escolher 0 itens de um conjunto de 20. (0.30)^0 também é igual a 1, pois qualquer número elevado à potência 0 é 1. (1 - 0.30) é igual a 0.70, e (0.70)^20 é aproximadamente 0.0007979.

$$P(X = 0) = 1 * 1 * 0.0007979 ≈ 0.0007979$$

Cálculo de P(X = 1)

Em seguida, calculamos a probabilidade de exatamente 1 poço ter impurezas (X = 1):

P(X = 1) = {20 in 1} * (0.30)^1 * (1 - 0.30)^{(20 - 1)}

O coeficiente binomial {20 choose 1} é igual a 20, pois há 20 maneiras de escolher 1 item de um conjunto de 20. (0.30)^1 é igual a 0.30. (1 - 0.30) é igual a 0.70, e (0.70)^19 é aproximadamente 0.0011399.

$$P(X = 1) = 20 * 0.30 * 0.0011399 ≈ 0.0068394$$

Cálculo de P(X = 2)

Agora, calculamos a probabilidade de exatamente 2 poços terem impurezas (X = 2):

P(X = 2) = {20 in 2} * (0.30)^2 * (1 - 0.30)^{(20 - 2)}

O coeficiente binomial {20 choose 2} é calculado como 20! / (2! * 18!) = (20 * 19) / (2 * 1) = 190. (0.30)^2 é igual a 0.09. (1 - 0.30) é igual a 0.70, e (0.70)^18 é aproximadamente 0.0016285.

$$P(X = 2) = 190 * 0.09 * 0.0016285 ≈ 0.0278335$$

Cálculo de P(X = 3)

Finalmente, calculamos a probabilidade de exatamente 3 poços terem impurezas (X = 3):

P(X = 3) = {20 in 3} * (0.30)^3 * (1 - 0.30)^{(20 - 3)}

O coeficiente binomial {20 choose 3} é calculado como 20! / (3! * 17!) = (20 * 19 * 18) / (3 * 2 * 1) = 1140. (0.30)^3 é igual a 0.027. (1 - 0.30) é igual a 0.70, e (0.70)^17 é aproximadamente 0.0023264.

$$P(X = 3) = 1140 * 0.027 * 0.0023264 ≈ 0.0713820$$

Soma das Probabilidades

Agora, somamos as probabilidades calculadas para obter P(X ≤ 3):

$$P(X <= 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$$

$$P(X <= 3) ≈ 0.0007979 + 0.0068394 + 0.0278335 + 0.0713820 ≈ 0.1068528$$

Portanto, P(X ≤ 3) é aproximadamente 0.1068528. Este valor é crucial para calcular a probabilidade final que estamos buscando.

Determinando a Probabilidade P(X > 3)

Após calcular a probabilidade de 3 ou menos poços apresentarem impurezas (P(X ≤ 3) ≈ 0.1068528), o próximo passo é determinar a probabilidade de mais de 3 poços apresentarem impurezas (P(X > 3)). Como mencionado anteriormente, podemos utilizar o complemento da probabilidade para facilitar este cálculo. A probabilidade de um evento ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade de o evento não ocorrer. Neste caso:

$$P(X > 3) = 1 - P(X <= 3)$$

Substituindo o valor que calculamos para P(X ≤ 3):

$$P(X > 3) = 1 - 0.1068528$$

$$P(X > 3) ≈ 0.8931472$$

Portanto, a probabilidade de mais de 3 poços apresentarem impurezas em uma amostra de 20, com uma taxa de impureza de 30%, é de aproximadamente 0.8931472. Agora, precisamos comparar este resultado com as alternativas fornecidas para identificar a resposta correta.

Comparação com as Alternativas e Conclusão

Após calcularmos a probabilidade de mais de 3 poços apresentarem impurezas (P(X > 3) ≈ 0.8931472), o passo final é comparar este resultado com as alternativas fornecidas para identificar a resposta correta. As alternativas são:

• A) 0,179
• B) 0,263
• C) 0,421
• D) 0,578

Nenhum dos valores fornecidos nas alternativas se aproxima do resultado que obtivemos (0.8931472). No entanto, é importante notar que, ao longo dos cálculos, realizamos arredondamentos para simplificar o processo. Esses arredondamentos podem ter impactado o resultado final em alguma medida. Vamos revisar os cálculos para garantir que não houve erros significativos e considerar a possibilidade de que a resposta correta possa ser diferente devido a esses arredondamentos.

Revisando os cálculos, verificamos que as probabilidades individuais foram calculadas corretamente utilizando a fórmula da distribuição binomial. A soma dessas probabilidades (P(X ≤ 3)) também foi realizada corretamente. A subtração de P(X ≤ 3) de 1 para obter P(X > 3) também está correta. Portanto, o resultado de 0.8931472 parece ser consistente com os cálculos realizados.

Diante da discrepância entre o resultado calculado e as alternativas fornecidas, é crucial reconsiderar o enunciado do problema e os cálculos realizados. Uma possível explicação para a divergência é que houve um erro na transcrição das alternativas ou no enunciado original do problema. Outra possibilidade é que a questão esperava uma abordagem diferente, talvez utilizando tabelas de distribuição binomial ou software estatístico para obter um resultado mais preciso sem a necessidade de arredondamentos manuais.

Em conclusão, com base nos cálculos realizados e na metodologia aplicada, a probabilidade de mais de 3 poços apresentarem impurezas é de aproximadamente 0.8931472. Nenhuma das alternativas fornecidas corresponde a este resultado. Recomendamos revisar o enunciado do problema e as alternativas para garantir a precisão das informações. Além disso, sugerimos a utilização de ferramentas estatísticas para validar os cálculos e obter resultados mais precisos em problemas complexos como este.