Numere De Trei Cifre Cu Catul Egal Cu Restul La Impartirea Cu 17

by Scholario Team 65 views

Introducere

În explorarea fascinantă a numerelor și a relațiilor dintre ele, matematica ne oferă provocări captivante care ne îndeamnă să gândim logic și creativ. O astfel de provocare este problema determinării numerelor naturale de trei cifre care, împărțite la 17, dau un cât egal cu restul. Această problemă îmbină principiile fundamentale ale împărțirii cu rest cu restricțiile impuse de numerele de trei cifre, oferind un cadru ideal pentru a ne exersa abilitățile de rezolvare a problemelor și de gândire abstractă. În acest articol, vom explora în detaliu această problemă, vom analiza pașii necesari pentru a o rezolva și vom identifica toate numerele care satisfac condițiile date. Abordarea noastră va fi una metodică, începând cu definirea conceptelor cheie și stabilirea ecuațiilor relevante, și continuând cu analiza intervalelor posibile și identificarea soluțiilor. Vom folosi un limbaj clar și concis, astfel încât explicațiile să fie accesibile tuturor cititorilor, indiferent de nivelul lor de pregătire matematică. Scopul nostru este de a oferi o înțelegere profundă a problemei și de a demonstra cum principiile matematice de bază pot fi aplicate pentru a rezolva probleme complexe. În plus, vom discuta despre importanța acestui tip de problemă în dezvoltarea gândirii logice și a abilităților de rezolvare a problemelor, competențe esențiale în multe domenii ale vieții. Prin urmare, vă invităm să ne însoțiți în această călătorie matematică, în care vom descoperi împreună frumusețea și utilitatea matematicii. Vom analiza strategii de rezolvare, vom identifica tipare și vom aplica principii matematice pentru a ajunge la soluția finală. Această problemă nu este doar un exercițiu matematic, ci și o oportunitate de a ne dezvolta abilitățile de gândire critică și de rezolvare a problemelor, competențe valoroase în orice domeniu al vieții.

Ecuația Fundamentala si Condițiile Problemei

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să înțelegem mai întâi ecuația fundamentală a împărțirii cu rest. Atunci când un număr natural (deîmpărțitul) este împărțit la un alt număr natural (împărțitorul), obținem un cât și un rest. Relația dintre aceste elemente este dată de ecuația: Deîmpărțit = Împărțitor × Cât + Rest. În cazul nostru specific, deîmpărțitul este un număr natural de trei cifre, împărțitorul este 17, iar câtul și restul sunt egale. Să notăm câtul (și restul) cu k. Atunci, numărul nostru de trei cifre, pe care îl vom nota cu n, poate fi exprimat ca:

n = 17k + k = 18k

Această ecuație este crucială, deoarece ne arată că numărul n trebuie să fie un multiplu de 18. Acum, trebuie să luăm în considerare condiția suplimentară că n este un număr de trei cifre, ceea ce înseamnă că trebuie să fie cuprins între 100 și 999, inclusiv. De asemenea, restul (care este egal cu k) trebuie să fie mai mic decât împărțitorul (17). Astfel, avem următoarele condiții:

  1. 100 ≤ n ≤ 999
  2. n = 18k
  3. 0 ≤ k < 17

Aceste condiții ne vor ghida în identificarea valorilor posibile ale lui k și, implicit, ale lui n. Vom folosi aceste condiții pentru a determina un interval de valori pentru k, apoi vom verifica fiecare valoare din interval pentru a vedea dacă satisface toate cerințele problemei. Această abordare metodică ne va permite să găsim toate soluțiile posibile și să evităm omisiunile sau erorile. În continuare, vom explora modul în care aceste condiții se traduc într-un interval specific pentru k și cum putem utiliza acest interval pentru a identifica numerele de trei cifre care satisfac cerințele problemei. Această analiză detaliată este esențială pentru a înțelege pe deplin problema și pentru a ajunge la o soluție corectă și completă. Vom acorda o atenție deosebită interpretării condițiilor și aplicării lor în contextul problemei, asigurându-ne că fiecare pas este justificat și clar explicat.

Determinarea Intervalului Valoric pentru Cât (k)

Având în vedere ecuația n = 18k și condiția că n este un număr de trei cifre (100 ≤ n ≤ 999), putem determina intervalul valoric pentru câtul k. Pentru a face acest lucru, vom împărți inegalitatea la 18:

100 ≤ 18k ≤ 999

Împărțind fiecare parte a inegalității la 18, obținem:

100/18 ≤ k ≤ 999/18

Calculând aceste fracții, avem:

5.55... ≤ k ≤ 55.5

Deoarece k trebuie să fie un număr natural (reprezentând câtul și restul împărțirii), valorile posibile pentru k sunt numerele întregi cuprinse în acest interval. Prin urmare, k poate lua valorile de la 6 până la 55, inclusiv. Aceasta ne oferă un număr considerabil de valori posibile pentru k, dar trebuie să ținem cont și de condiția ca restul (care este egal cu k) să fie mai mic decât împărțitorul (17). Această condiție suplimentară va reduce semnificativ numărul de valori posibile pentru k și ne va ajuta să identificăm doar acele numere care satisfac toate cerințele problemei. În continuare, vom analiza impactul acestei condiții suplimentare și vom determina intervalul final pentru k.

Aplicarea Condiției Restului Mai Mic Decât Împărțitorul

Am stabilit anterior că k poate lua valori între 6 și 55, inclusiv, pe baza condiției ca numărul n să fie de trei cifre. Cu toate acestea, avem o condiție suplimentară: restul (care este egal cu k) trebuie să fie mai mic decât împărțitorul, care este 17. Prin urmare, trebuie să avem:

k < 17

Această condiție restrânge intervalul valorilor posibile pentru k. Combinând această condiție cu intervalul determinat anterior (6 ≤ k ≤ 55), obținem următorul interval final pentru k:

6 ≤ k < 17

Aceasta înseamnă că k poate lua valorile întregi de la 6 până la 16, inclusiv. Acum avem un set mult mai restrâns de valori posibile pentru k, ceea ce simplifică procesul de identificare a numerelor n care satisfac cerințele problemei. În continuare, vom calcula valorile lui n pentru fiecare valoare posibilă a lui k și vom verifica dacă acestea sunt numere de trei cifre. Această etapă este crucială pentru a ne asigura că am identificat toate soluțiile corecte și că nu am omis niciuna. Vom aborda această sarcină într-un mod sistematic, calculând n pentru fiecare k în intervalul specificat și verificând dacă rezultatul se încadrează în intervalul numerelor de trei cifre.

Calculul Numerelor Naturale (n) si Verificarea Solutiilor

Acum că am determinat intervalul valorilor posibile pentru k (6 ≤ k < 17), putem calcula valorile corespunzătoare pentru n folosind ecuația n = 18k. Vom calcula n pentru fiecare valoare a lui k în acest interval și vom verifica dacă rezultatul este un număr de trei cifre (adică, dacă este cuprins între 100 și 999). Să începem cu k = 6:

  • Pentru k = 6, n = 18 × 6 = 108. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 7, n = 18 × 7 = 126. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 8, n = 18 × 8 = 144. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 9, n = 18 × 9 = 162. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 10, n = 18 × 10 = 180. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 11, n = 18 × 11 = 198. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 12, n = 18 × 12 = 216. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 13, n = 18 × 13 = 234. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 14, n = 18 × 14 = 252. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 15, n = 18 × 15 = 270. Acesta este un număr de trei cifre.
  • Pentru k = 16, n = 18 × 16 = 288. Acesta este un număr de trei cifre.

Am calculat n pentru toate valorile posibile ale lui k și am constatat că toate rezultatele sunt numere de trei cifre. Prin urmare, am identificat toate numerele care satisfac condițiile problemei. În continuare, vom prezenta concluziile finale și vom rezuma pașii pe care i-am urmat pentru a rezolva problema.

Concluzii

În concluzie, am identificat toate numerele naturale de trei cifre care, împărțite la 17, dau un cât egal cu restul. Aceste numere sunt:

108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, 252, 270, 288

Există 11 astfel de numere. Am rezolvat această problemă urmând o abordare metodică, care a implicat următorii pași:

  1. Am stabilit ecuația fundamentală a împărțirii cu rest și am exprimat numărul n în funcție de câtul k.
  2. Am identificat condițiile impuse de problema: n trebuie să fie un număr de trei cifre, iar restul (k) trebuie să fie mai mic decât împărțitorul (17).
  3. Am determinat intervalul valorilor posibile pentru k pe baza condiției ca n să fie un număr de trei cifre.
  4. Am aplicat condiția suplimentară ca restul (k) să fie mai mic decât împărțitorul (17) pentru a restrânge intervalul valorilor posibile pentru k.
  5. Am calculat valorile lui n pentru fiecare valoare posibilă a lui k și am verificat dacă rezultatele sunt numere de trei cifre.

Această problemă demonstrează modul în care principiile matematice de bază pot fi aplicate pentru a rezolva probleme complexe. Abordarea metodică și atenția la detalii sunt esențiale pentru a ajunge la o soluție corectă. În plus, acest tip de problemă contribuie la dezvoltarea gândirii logice și a abilităților de rezolvare a problemelor, competențe valoroase în multe aspecte ale vieții. Sperăm că această analiză detaliată a fost utilă și că a oferit o perspectivă clară asupra modului în care se poate aborda o astfel de problemă matematică.