Integral Dupla De X²y² Com Limites De 0 A 1 Passo A Passo

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? 😄 Hoje, vamos mergulhar de cabeça no fascinante mundo do cálculo multivariável para resolver um problema superinteressante: calcular a integral dupla indefinida da função f(x, y) = x²y² com os limites de integração de 0 a 1 para ambas as variáveis. Preparados para essa jornada matemática? 🚀

O Que São Integrais Duplas e Por Que Elas São Importantes?

Antes de começarmos a resolver o problema em si, é fundamental entendermos o conceito por trás das integrais duplas. Pensem nelas como uma extensão das integrais simples que vocês já conhecem, só que agora aplicadas a funções de duas variáveis. Em vez de calcular a área sob uma curva em um plano, as integrais duplas nos permitem calcular o volume sob uma superfície no espaço tridimensional. 🤯

As integrais duplas têm uma infinidade de aplicações em diversas áreas do conhecimento. Na física, por exemplo, elas são usadas para calcular o centro de massa de objetos bidimensionais, o momento de inércia e o fluxo de fluidos. Na engenharia, as integrais duplas são essenciais para o cálculo de áreas de superfícies irregulares, volumes de sólidos e até mesmo para a análise de estruturas. E na economia? Elas podem ser usadas para modelar a distribuição de renda e calcular o excedente do consumidor. Incrível, né?

Montando a Integral Dupla: O Primeiro Passo Para a Solução

Agora que já entendemos a importância das integrais duplas, vamos voltar ao nosso problema inicial. A questão nos pede para calcular a integral dupla da função f(x, y) = x²y² com os limites de integração de 0 a 1 para x e y. Matematicamente, podemos representar isso da seguinte forma:

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^2y^2 dx dy$$

Essa expressão pode parecer um pouco intimidadora à primeira vista, mas não se preocupem! Vamos desmistificá-la passo a passo. O símbolo de integral duplo ($\int \int$) indica que estamos realizando uma integração em duas dimensões. Os limites de integração (0 e 1) nos dizem os intervalos em que as variáveis x e y estão variando. E a função f(x, y) = x²y² é a superfície cujo volume queremos calcular.

Para resolver essa integral dupla, vamos seguir uma estratégia simples: integrar primeiro em relação a uma variável (digamos, x) e, em seguida, integrar o resultado em relação à outra variável (y). Essa abordagem é conhecida como integração iterada e é a chave para resolver a maioria das integrais duplas.

Integrando em Relação a x: O Primeiro Nível da Jornada

Vamos começar integrando a função f(x, y) = x²y² em relação a x, mantendo y constante. Isso significa que vamos tratar y como se fosse um número fixo durante essa etapa. A integral de x² em relação a x é (x³/3), então temos:

$$\int_{0}^{1} x^2y^2 dx = y^2 \int_{0}^{1} x^2 dx = y^2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de 0 e 1:

$$y^2 \left[ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right] = y^2 \left[ \frac{1}{3} - 0 \right] = \frac{y^2}{3}$$

Ufa! Já completamos a primeira etapa. Integramos em relação a x e obtivemos uma nova função, (y²/3), que depende apenas de y. Agora, vamos para o próximo nível!

Integrando em Relação a y: A Reta Final da Solução

Agora que já integramos em relação a x, vamos integrar o resultado, (y²/3), em relação a y, com os limites de integração de 0 a 1. A integral de y² em relação a y é (y³/3), então temos:

$$\int_{0}^{1} \frac{y^2}{3} dy = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} y^2 dy = \frac{1}{3} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1}$$

Novamente, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de 0 e 1:

$$\frac{1}{3} \left[ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3} - 0 \right] = \frac{1}{9}$$

🎉 Chegamos ao fim da nossa jornada matemática! Descobrimos que o valor da integral dupla indefinida da função f(x, y) = x²y² com os limites de integração de 0 a 1 para ambas as variáveis é 1/9. Mas espere um pouco... 🤔

Oops! Um Pequeno Desliz e a Resposta Correta

Se você acompanhou atentamente até aqui, deve ter percebido que cometemos um pequeno deslize no cálculo final. A integral de (y²/3) em relação a y é, na verdade, (y³/9), e não (y³/3). Isso significa que o resultado correto da integral dupla é:

$$\frac{1}{3} \left[ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right] = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$$

$$\frac{1}{3} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} * (\frac{1}{3} - 0) = \frac{1}{9}$$

$$\frac{1}{3} \left[ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right] = \frac{1}{9}$$

Então, a resposta correta é 1/9. Mas essa alternativa não está entre as opções fornecidas! 😱

Analisando as Alternativas e Encontrando a Solução Adequada

Vamos dar uma olhada nas alternativas fornecidas:

A) 1/12 B) 1/6 C) 1/4 D) 1/3

Nenhuma dessas opções corresponde ao nosso resultado correto, que é 1/9. Isso pode indicar um erro na questão original ou nas alternativas fornecidas. Em situações como essa, é importante verificar cuidadosamente todos os passos do cálculo e, se necessário, consultar outras fontes para confirmar a resposta.

No entanto, se fôssemos forçados a escolher a alternativa mais próxima do resultado correto, a opção A) 1/12 seria a mais razoável, já que é a menor das opções e está mais próxima de 1/9 do que as demais.

Lições Aprendidas e Próximos Passos

Ufa! Que aventura matemática emocionante! 😄 Percorremos um longo caminho juntos, desde a compreensão do conceito de integrais duplas até a resolução passo a passo do nosso problema. Aprendemos a importância da integração iterada, a necessidade de verificar cuidadosamente os cálculos e a importância de analisar as alternativas em caso de discrepâncias.

Se você chegou até aqui, parabéns! 🎉 Você deu um grande passo no mundo do cálculo multivariável. Mas a jornada não termina aqui. Para aprofundar ainda mais seus conhecimentos, sugiro que você explore outros exemplos de integrais duplas, experimente diferentes funções e limites de integração e, quem sabe, até se aventure no mundo das integrais triplas! 😉

E aí, pessoal? O que acharam dessa jornada matemática? Deixem seus comentários e dúvidas abaixo. E não se esqueçam de compartilhar este artigo com seus amigos que também amam matemática! 😉

Até a próxima! 👋