Função F(x) = X² - 3x + 9 Determine F(3) Passo A Passo

Introdução

No universo da matemática, as funções desempenham um papel fundamental na modelagem e na compreensão de diversos fenômenos. Uma função, em sua essência, estabelece uma relação entre dois conjuntos de elementos, onde cada elemento do primeiro conjunto (o domínio) está associado a um único elemento do segundo conjunto (o contradomínio). Ao explorarmos o conceito de funções, abrimos portas para um vasto campo de aplicações, desde a física e a engenharia até a economia e a ciência da computação.

Neste artigo, vamos nos aprofundar no estudo de uma função específica, definida pela expressão f(x) = x² - 3x + 9. Essa função, conhecida como função quadrática, apresenta um comportamento característico que a torna particularmente interessante. Ao longo deste texto, vamos desvendar os mistérios dessa função, explorando suas propriedades e aplicações. Em particular, vamos nos concentrar em um problema específico: determinar o valor de f(3).

A determinação de f(3) envolve a substituição do valor de x por 3 na expressão da função. Esse processo, aparentemente simples, nos permite obter o valor da função para um ponto específico do seu domínio. Ao calcular f(3), estaremos encontrando a imagem do número 3 pela função f. Esse valor representa a altura do gráfico da função no ponto de abscissa 3, fornecendo informações valiosas sobre o comportamento da função nesse ponto.

Ao longo deste artigo, vamos apresentar uma abordagem passo a passo para a solução desse problema, detalhando cada etapa do processo. Além disso, vamos explorar o conceito de funções quadráticas, discutindo suas propriedades e aplicações. Ao final, você terá uma compreensão clara de como determinar o valor de uma função para um dado ponto, bem como uma visão geral sobre o fascinante mundo das funções quadráticas.

O Que São Funções?

Para compreendermos plenamente o problema em questão, é crucial estabelecermos uma base sólida sobre o conceito de funções. Uma função, em termos matemáticos, é uma relação entre dois conjuntos, denominados domínio e contradomínio. Essa relação associa cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio. Em outras palavras, uma função é como uma máquina que recebe uma entrada (um elemento do domínio) e produz uma saída (um elemento do contradomínio).

As funções são onipresentes em nosso cotidiano, muitas vezes de forma tão natural que nem nos damos conta de sua presença. Por exemplo, a relação entre o tempo decorrido e a distância percorrida por um carro em movimento pode ser descrita por uma função. Da mesma forma, a relação entre a quantidade de produtos vendidos e a receita total de uma empresa também pode ser modelada por uma função.

Existem diversas maneiras de representar uma função. Uma delas é por meio de uma expressão algébrica, como a função f(x) = x² - 3x + 9, que será o nosso foco neste artigo. Essa expressão define uma regra que associa cada valor de x (a entrada) a um valor de f(x) (a saída). Outra forma de representar uma função é por meio de um gráfico, que ilustra visualmente a relação entre os elementos do domínio e do contradomínio.

As funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas do conhecimento, desde a matemática e a física até a economia e a ciência da computação. Elas nos permitem modelar e analisar uma ampla gama de fenômenos, desde o movimento de um projétil até o crescimento populacional de uma espécie. Ao compreendermos o conceito de funções, abrimos portas para um mundo de possibilidades e aplicações.

Funções Quadráticas

Dentre a vasta gama de funções existentes, as funções quadráticas ocupam um lugar de destaque. Uma função quadrática é uma função que pode ser escrita na forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, uma curva com formato característico que se assemelha a um "U" ou a um "U" invertido.

A parábola possui um ponto especial denominado vértice, que representa o ponto de máximo ou mínimo da função. Se o coeficiente a for positivo, a parábola terá concavidade voltada para cima, e o vértice representará o ponto de mínimo. Por outro lado, se o coeficiente a for negativo, a parábola terá concavidade voltada para baixo, e o vértice representará o ponto de máximo.

As funções quadráticas têm diversas aplicações práticas. Por exemplo, elas podem ser usadas para modelar a trajetória de um projétil lançado ao ar, o formato de uma antena parabólica ou a relação entre o custo de produção e o lucro de uma empresa. Além disso, as funções quadráticas desempenham um papel importante em problemas de otimização, onde o objetivo é encontrar o valor máximo ou mínimo de uma determinada grandeza.

No nosso problema, a função f(x) = x² - 3x + 9 é uma função quadrática, com a = 1, b = -3 e c = 9. Portanto, seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima. Ao determinarmos f(3), estaremos encontrando a altura da parábola no ponto de abscissa 3.

Determinando f(3)

Agora que já estabelecemos as bases teóricas necessárias, podemos nos concentrar no problema principal: determinar o valor de f(3) para a função f(x) = x² - 3x + 9. Para resolver esse problema, basta substituirmos o valor de x por 3 na expressão da função. Esse processo é conhecido como avaliação da função em um ponto.

Vamos seguir os seguintes passos:

1. Substitua x por 3 na expressão da função: f(3) = (3)² - 3(3) + 9
2. Calcule as potências: f(3) = 9 - 3(3) + 9
3. Realize as multiplicações: f(3) = 9 - 9 + 9
4. Realize as adições e subtrações: f(3) = 9

Portanto, o valor de f(3) é 9. Isso significa que, quando x é igual a 3, o valor da função f(x) é igual a 9. Graficamente, isso corresponde ao ponto (3, 9) no gráfico da função, que está localizado na parábola que representa a função quadrática.

Análise do Resultado

O resultado obtido, f(3) = 9, nos fornece informações valiosas sobre o comportamento da função f(x) = x² - 3x + 9. Primeiramente, ele nos diz que o ponto (3, 9) pertence ao gráfico da função. Isso significa que, se plotarmos o gráfico da função, a parábola passará pelo ponto de coordenadas (3, 9).

Além disso, o valor de f(3) nos dá uma ideia da altura da parábola no ponto de abscissa 3. Como f(3) = 9, sabemos que a parábola está a uma altura de 9 unidades acima do eixo x no ponto x = 3. Essa informação pode ser útil para esboçar o gráfico da função ou para analisar seu comportamento em torno desse ponto.

É importante ressaltar que o valor de f(3) é apenas um ponto no gráfico da função. Para termos uma visão completa do comportamento da função, seria necessário calcular outros valores de f(x) para diferentes valores de x. No entanto, o cálculo de f(3) nos fornece um ponto de partida para essa análise.

Aplicações das Funções Quadráticas

Como mencionado anteriormente, as funções quadráticas têm diversas aplicações práticas em diversas áreas do conhecimento. Vamos explorar algumas delas:

• Física: As funções quadráticas podem ser usadas para modelar a trajetória de um projétil lançado ao ar. A altura do projétil em função do tempo pode ser descrita por uma função quadrática, permitindo calcular o alcance máximo do projétil, o tempo de voo e a altura máxima atingida.
• Engenharia: As funções quadráticas são usadas no projeto de antenas parabólicas, que são utilizadas para receber sinais de satélite ou para transmitir ondas de rádio. O formato da antena parabólica é determinado por uma função quadrática, que garante que os sinais sejam focados em um único ponto.
• Economia: As funções quadráticas podem ser usadas para modelar a relação entre o custo de produção e o lucro de uma empresa. Ao analisar essa relação, é possível determinar o nível de produção que maximiza o lucro da empresa.
• Otimização: As funções quadráticas desempenham um papel fundamental em problemas de otimização, onde o objetivo é encontrar o valor máximo ou mínimo de uma determinada grandeza. Por exemplo, podemos usar funções quadráticas para encontrar as dimensões de um retângulo de área máxima com um perímetro fixo.

Esses são apenas alguns exemplos das inúmeras aplicações das funções quadráticas. Ao compreendermos as propriedades dessas funções, podemos utilizá-las para resolver problemas práticos em diversas áreas.

Conclusão

Neste artigo, exploramos o conceito de funções, com foco nas funções quadráticas. Aprendemos como determinar o valor de uma função para um dado ponto, resolvendo o problema específico de calcular f(3) para a função f(x) = x² - 3x + 9. Vimos que f(3) = 9, o que significa que o ponto (3, 9) pertence ao gráfico da função.

Além disso, discutimos as propriedades das funções quadráticas, como o formato parabólico de seu gráfico e a existência de um vértice, que representa o ponto de máximo ou mínimo da função. Exploramos também algumas aplicações das funções quadráticas em áreas como física, engenharia, economia e otimização.

Espero que este artigo tenha fornecido uma compreensão clara e abrangente sobre o tema das funções quadráticas e sua aplicação na determinação de valores específicos. Ao dominarmos esse conceito, estaremos mais preparados para enfrentar desafios matemáticos e práticos que envolvem funções.

A matemática é uma ferramenta poderosa que nos permite compreender e modelar o mundo ao nosso redor. Ao explorarmos os conceitos matemáticos, como as funções, abrimos portas para um universo de possibilidades e aplicações. Continue explorando o fascinante mundo da matemática e descubra as maravilhas que ela tem a oferecer.