Derivada De F(x) = (3x - 2)/(x + 2) Análise E Classificação

Este artigo explora detalhadamente o cálculo da derivada da função f(x) = (3x - 2)/(x + 2), além de classificar essa função em termos de continuidade e derivabilidade. A derivada de uma função é um conceito fundamental no cálculo diferencial, que mede a taxa de variação instantânea da função em relação à sua variável independente. A classificação de uma função quanto à continuidade e derivabilidade é crucial para entender seu comportamento e aplicabilidade em diversos contextos.

Cálculo da Derivada de f(x) = (3x - 2)/(x + 2)

Para encontrar a derivada da função f(x) = (3x - 2)/(x + 2), utilizaremos a regra do quociente, uma das regras básicas de derivação. A regra do quociente estabelece que, se tivermos uma função f(x) = u(x) / v(x), então a derivada f'(x) é dada por:

f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]²

Nesse caso, identificamos u(x) = 3x - 2 e v(x) = x + 2. Agora, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x).

A derivada de u(x) = 3x - 2 é simplesmente u'(x) = 3, pois a derivada de 3x é 3 e a derivada de uma constante (-2) é 0. De forma similar, a derivada de v(x) = x + 2 é v'(x) = 1, pois a derivada de x é 1 e a derivada da constante 2 é 0.

Agora, podemos aplicar a regra do quociente:

f'(x) = [(3)(x + 2) - (3x - 2)(1)] / (x + 2)²

Expandindo o numerador, temos:

f'(x) = [3x + 6 - 3x + 2] / (x + 2)²

Simplificando, obtemos:

f'(x) = 8 / (x + 2)²

Portanto, a derivada da função f(x) = (3x - 2)/(x + 2) é f'(x) = 8 / (x + 2)². É crucial entender cada passo deste processo, desde a identificação das funções u(x) e v(x) até a aplicação da regra do quociente e a simplificação final. A prática constante com diferentes exemplos é fundamental para dominar a técnica de derivação.

Análise Detalhada da Derivada

A derivada f'(x) = 8 / (x + 2)² nos fornece informações valiosas sobre o comportamento da função f(x). Primeiramente, notamos que o denominador (x + 2)² é sempre positivo (ou zero) para qualquer valor de x, exceto quando x = -2, onde o denominador se torna zero e a função não está definida. Como o numerador é uma constante positiva (8), a derivada f'(x) é sempre positiva (exceto em x = -2). Isso significa que a função f(x) é estritamente crescente em seu domínio.

Além disso, podemos observar que à medida que x se aproxima de -2, o denominador (x + 2)² se aproxima de zero, e a derivada f'(x) tende ao infinito. Isso indica que a função f(x) tem uma assíntota vertical em x = -2. A análise da derivada nos permite identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, bem como a presença de pontos críticos e assíntotas.

Classificação da Função f(x) = (3x - 2)/(x + 2) Quanto à Continuidade

A continuidade de uma função é uma propriedade fundamental que está relacionada à ausência de "saltos" ou "interrupções" em seu gráfico. Formalmente, uma função f(x) é contínua em um ponto x = a se as seguintes condições forem satisfeitas:

1. f(a) está definida (o ponto a pertence ao domínio da função).
2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe (tanto o limite à esquerda quanto o limite à direita existem e são iguais).
3. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a).

No caso da função f(x) = (3x - 2)/(x + 2), o denominador (x + 2) se torna zero quando x = -2. Isso significa que a função não está definida em x = -2, pois a divisão por zero não é permitida. Portanto, a função f(x) não é contínua em x = -2. Este ponto de descontinuidade é classificado como uma descontinuidade infinita ou descontinuidade de segunda espécie, pois o limite da função quando x se aproxima de -2 é infinito.

Para todos os outros valores de x diferentes de -2, a função f(x) é contínua. Isso ocorre porque tanto o numerador (3x - 2) quanto o denominador (x + 2) são funções polinomiais, que são contínuas em todos os pontos. A divisão de duas funções contínuas resulta em uma função contínua, exceto nos pontos onde o denominador é zero. A compreensão da continuidade é essencial para a aplicação de muitos teoremas do cálculo, como o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Valor Médio.

Classificação da Função f(x) = (3x - 2)/(x + 2) Quanto à Derivabilidade

A derivabilidade de uma função está intimamente ligada à sua continuidade. Uma função só pode ser derivável em um ponto se for contínua nesse ponto. No entanto, a continuidade não garante a derivabilidade. Uma função pode ser contínua em um ponto, mas não derivável se o gráfico apresentar uma "quina" ou "canto" nesse ponto, ou se a tangente vertical existir.

Como vimos, a função f(x) = (3x - 2)/(x + 2) não é contínua em x = -2. Portanto, ela também não é derivável em x = -2. Além disso, a derivada f'(x) = 8 / (x + 2)² também não está definida em x = -2, o que confirma a não derivabilidade da função nesse ponto.

Para todos os outros valores de x diferentes de -2, a função f(x) é derivável. A derivada f'(x) = 8 / (x + 2)² existe e é finita para todos esses valores de x. A derivabilidade de uma função é crucial para a aplicação de técnicas de otimização, como encontrar máximos e mínimos locais, e para a análise do comportamento da função, como determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. A compreensão da relação entre continuidade e derivabilidade é fundamental para a aplicação correta dos conceitos do cálculo diferencial.

Em resumo, a função f(x) = (3x - 2)/(x + 2) é derivável em todos os pontos do seu domínio, exceto em x = -2. A derivada f'(x) = 8 / (x + 2)² nos fornece informações valiosas sobre o comportamento da função, como seu crescimento e a presença de assíntotas. A análise da continuidade e derivabilidade de uma função é essencial para compreender suas propriedades e aplicações em diversos campos da matemática e da ciência.

Alternativas e Resposta Correta

Com base na nossa análise detalhada, a derivada correta da função f(x) = (3x - 2)/(x + 2) é:

f'(x) = 8 / (x + 2)²

Nenhuma das alternativas fornecidas (A, B, C, D) corresponde a essa resposta. Portanto, a resposta correta não está listada entre as opções. É importante verificar cuidadosamente os cálculos e as alternativas fornecidas para garantir a precisão da resposta. A prática constante e a revisão dos conceitos são fundamentais para evitar erros e garantir o sucesso na resolução de problemas de cálculo.

Conclusão

Neste artigo, exploramos o cálculo da derivada da função f(x) = (3x - 2)/(x + 2) utilizando a regra do quociente. Determinamos que a derivada é f'(x) = 8 / (x + 2)². Além disso, classificamos a função quanto à continuidade e derivabilidade. A função não é contínua nem derivável em x = -2, mas é contínua e derivável em todos os outros pontos do seu domínio. A compreensão dos conceitos de derivada, continuidade e derivabilidade é fundamental para o estudo do cálculo diferencial e suas aplicações em diversas áreas da ciência e da engenharia. A prática constante e a análise detalhada dos problemas são essenciais para o sucesso no estudo do cálculo.