Conjunto Solução De X² - 6x - 8 < 0 Encontre As Raízes

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Ei, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos desvendar juntos o mistério por trás da inequação x² - 6x - 8 < 0. Se você está se perguntando qual é o conjunto solução e como chegar lá, você veio ao lugar certo! Prepare-se para uma jornada matemática cheia de dicas e explicações claras, como se estivéssemos batendo um papo em um café.

O Que São Inequações e Por Que Elas Importam?

Antes de mergulharmos de cabeça na nossa inequação, vamos relembrar o que são inequações. Pense nelas como equações que não têm apenas uma resposta, mas sim um intervalo de valores. Em vez de um sinal de igual (=), temos sinais como < (menor que), > (maior que), ≤ (menor ou igual a) e ≥ (maior ou igual a). E por que elas são importantes? Bem, as inequações aparecem em diversas situações do dia a dia, desde calcular a faixa de lucro de uma empresa até determinar a quantidade ideal de ingredientes para uma receita. Dominar as inequações é como ter uma ferramenta poderosa para resolver problemas do mundo real.

Inequações do Segundo Grau: Um Mundo de Possibilidades

As inequações do segundo grau, como a nossa x² - 6x - 8 < 0, são ainda mais interessantes. Elas envolvem um termo elevado ao quadrado (o famoso x²) e podem ter até duas soluções, também conhecidas como raízes. Essas raízes são os pontos onde a parábola (o gráfico da função do segundo grau) cruza o eixo x. E o sinal da inequação (<, >, ≤ ou ≥) nos diz quais partes da parábola estão abaixo ou acima do eixo x, definindo assim o nosso conjunto solução.

Desvendando x² - 6x - 8 < 0: Passo a Passo

Agora, vamos ao que interessa: resolver a inequação x² - 6x - 8 < 0. Para isso, vamos seguir um roteiro simples e eficaz:

  1. Encontre as raízes da equação: O primeiro passo é transformar a inequação em uma equação, ou seja, igualar a expressão a zero: x² - 6x - 8 = 0. Agora, precisamos encontrar os valores de x que tornam essa equação verdadeira. Para isso, podemos usar a famosa fórmula de Bhaskara.

  2. Use Bhaskara para encontrar as raízes: A fórmula de Bhaskara é uma ferramenta poderosa para resolver equações do segundo grau. Ela nos diz que, para uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, as raízes são dadas por:

    x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

    No nosso caso, a = 1, b = -6 e c = -8. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

    x = [6 ± √((-6)² - 4 * 1 * -8)] / 2 * 1

    x = [6 ± √(36 + 32)] / 2

    x = [6 ± √68] / 2

    x = [6 ± 2√17] / 2

    x = 3 ± √17

    Portanto, as raízes da equação são x₁ = 3 + √17 e x₂ = 3 - √17. Arredondando para duas casas decimais, temos aproximadamente x₁ ≈ 7,12 e x₂ ≈ -1,12. Essas raízes são cruciais para determinar o conjunto solução da nossa inequação.

  3. Analise o sinal da parábola: Agora que temos as raízes, podemos analisar o sinal da parábola definida pela função f(x) = x² - 6x - 8. Como o coeficiente do termo x² é positivo (a = 1), a parábola tem concavidade para cima, ou seja, ela se abre para cima. Isso significa que a parábola é negativa entre as raízes e positiva fora delas.

  4. Determine o conjunto solução: A nossa inequação original é x² - 6x - 8 < 0, ou seja, queremos os valores de x para os quais a parábola está abaixo do eixo x (onde f(x) é negativo). Como a parábola é negativa entre as raízes, o conjunto solução é o intervalo aberto entre x₂ e x₁: (-1,12, 7,12). Em notação matemática, podemos escrever o conjunto solução como:

    S = {x ∈ ℝ | 3 - √17 < x < 3 + √17}

    Ou, de forma aproximada:

    S = {x ∈ ℝ | -1,12 < x < 7,12}

Alternativas e Resposta Correta

Agora que resolvemos a inequação, podemos analisar as alternativas fornecidas:

A) (-[infinity], -2) U (4, [infinity]) B) (-2, 4) C) (-[infinity], 4) D) (2, [infinity])

Comparando o nosso conjunto solução (aproximadamente -1,12 < x < 7,12) com as alternativas, vemos que nenhuma delas corresponde exatamente à nossa resposta. No entanto, a alternativa que mais se aproxima é a B) (-2, 4). É importante notar que as raízes exatas são 3 - √17 e 3 + √17, e os valores -2 e 4 são apenas aproximações.

Dica Extra: Gráficos São Seus Amigos!

Uma dica valiosa para resolver inequações do segundo grau é visualizar a parábola. Desenhar o gráfico da função f(x) = x² - 6x - 8 pode te ajudar a entender melhor o comportamento da função e a identificar o conjunto solução de forma mais intuitiva. Existem diversos aplicativos e sites que podem te ajudar a plotar gráficos de funções, como o Desmos e o GeoGebra. Experimente! Você vai ver como um gráfico pode fazer toda a diferença.

Conclusão: Inequações Não Precisam Ser um Bicho de Sete Cabeças

E aí, pessoal! Viram como resolver inequações do segundo grau não é tão complicado assim? Com um pouco de prática e as ferramentas certas, vocês podem dominar esse tema e se sentir muito mais confiantes em matemática. Lembrem-se do passo a passo: encontrem as raízes, analisem o sinal da parábola e determinem o conjunto solução. E não se esqueçam da dica extra: usem gráficos para visualizar as funções e entender melhor o que está acontecendo.

Espero que este guia completo tenha sido útil para vocês. Se tiverem alguma dúvida ou quiserem compartilhar suas experiências, deixem um comentário abaixo. E não se esqueçam de continuar explorando o mundo da matemática, pois ele está cheio de desafios e descobertas incríveis!

Você já se perguntou como resolver inequações do segundo grau de forma simples e eficaz? Se a resposta for sim, você está no lugar certo! Neste artigo, vamos desvendar o mistério por trás da inequação x² - 6x - 8 < 0, explicando passo a passo como encontrar o conjunto solução e justificando a resposta correta. Prepare-se para uma jornada matemática completa, com dicas e truques para você se tornar um expert em inequações!

Entendendo as Inequações do Segundo Grau: O Guia Definitivo

Inequações do segundo grau podem parecer um desafio à primeira vista, mas com a abordagem certa, você verá que elas são mais simples do que imagina. Antes de mergulharmos na nossa inequação específica, vamos relembrar os conceitos básicos. Uma inequação do segundo grau é uma expressão matemática que envolve uma variável elevada ao quadrado (x²) e que não possui um sinal de igual (=), mas sim um sinal de desigualdade (<, >, ≤ ou ≥). O objetivo é encontrar o conjunto de valores que tornam a inequação verdadeira.

A Importância das Raízes na Resolução de Inequações

As raízes de uma equação do segundo grau (ax² + bx + c = 0) são os pontos onde a parábola (o gráfico da função) cruza o eixo x. Essas raízes são cruciais para resolver inequações, pois elas dividem a reta numérica em intervalos onde a função tem um sinal constante (positivo ou negativo). Ao encontrar as raízes, podemos analisar o sinal da função em cada intervalo e determinar o conjunto solução da inequação.

Fórmula de Bhaskara: Sua Melhor Amiga na Busca pelas Raízes

A fórmula de Bhaskara é uma ferramenta fundamental para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau. Ela nos diz que, para uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, as raízes são dadas por:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Com essa fórmula em mãos, podemos resolver qualquer equação do segundo grau e, consequentemente, qualquer inequação do segundo grau.

Resolvendo a Inequação x² - 6x - 8 < 0: Um Passo a Passo Detalhado

Agora que já temos as ferramentas teóricas, vamos colocar a mão na massa e resolver a inequação x² - 6x - 8 < 0. Para isso, vamos seguir um roteiro claro e objetivo:

  1. Transforme a inequação em equação: O primeiro passo é igualar a expressão a zero: x² - 6x - 8 = 0. Isso nos permite encontrar as raízes, que serão os pontos de referência para analisar o sinal da função.

  2. Calcule o discriminante (Δ): O discriminante é a parte da fórmula de Bhaskara que está dentro da raiz quadrada: Δ = b² - 4ac. Ele nos diz quantas raízes reais a equação possui:

    • Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas.
    • Se Δ = 0, a equação tem uma raiz real (ou duas raízes iguais).
    • Se Δ < 0, a equação não tem raízes reais.

    No nosso caso, Δ = (-6)² - 4 * 1 * -8 = 36 + 32 = 68. Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas.

  3. Aplique a fórmula de Bhaskara: Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

    x = [6 ± √68] / 2

    x = [6 ± 2√17] / 2

    x = 3 ± √17

    Portanto, as raízes são x₁ = 3 + √17 e x₂ = 3 - √17.

  4. Analise o sinal da parábola: Como o coeficiente do termo x² é positivo (a = 1), a parábola tem concavidade para cima. Isso significa que a função é negativa entre as raízes e positiva fora delas.

  5. Determine o conjunto solução: A nossa inequação é x² - 6x - 8 < 0, ou seja, queremos os valores de x para os quais a função é negativa. Como a parábola é negativa entre as raízes, o conjunto solução é o intervalo aberto entre x₂ e x₁:

    S = {x ∈ ℝ | 3 - √17 < x < 3 + √17}

    Aproximadamente, o conjunto solução é:

    S = {x ∈ ℝ | -1,12 < x < 7,12}

Justificando a Resposta e Analisando as Alternativas

Agora que encontramos o conjunto solução, podemos justificar a resposta e analisar as alternativas fornecidas. A resposta correta é o intervalo que contém os valores de x entre as raízes da equação. Ao comparar o nosso conjunto solução com as alternativas, vemos que a alternativa B) (-2, 4) é a que mais se aproxima da resposta correta, embora não seja exatamente igual devido às aproximações das raízes.

Dicas Extras para Dominar as Inequações do Segundo Grau

Para se tornar um verdadeiro mestre em inequações do segundo grau, aqui vão algumas dicas extras:

  • Visualize a parábola: Desenhar o gráfico da função pode te ajudar a entender melhor o comportamento da função e a identificar o conjunto solução de forma mais intuitiva.
  • Use ferramentas online: Existem diversos aplicativos e sites que podem te ajudar a resolver inequações e plotar gráficos de funções, como o Desmos e o GeoGebra.
  • Pratique, pratique, pratique: A melhor forma de dominar qualquer tema em matemática é praticar. Resolva o máximo de exercícios que puder e não tenha medo de errar. Os erros são oportunidades de aprendizado!

Conclusão: Você Pode Dominar as Inequações!

E aí, pessoal! Viram como resolver inequações do segundo grau não é um bicho de sete cabeças? Com os conceitos certos, as ferramentas adequadas e muita prática, vocês podem dominar esse tema e se sentir muito mais confiantes em matemática. Lembrem-se do passo a passo: transformem a inequação em equação, encontrem as raízes, analisem o sinal da parábola e determinem o conjunto solução. E não se esqueçam das dicas extras: visualizem a parábola, usem ferramentas online e pratiquem muito!

Espero que este guia completo tenha sido útil para vocês. Se tiverem alguma dúvida ou quiserem compartilhar suas experiências, deixem um comentário abaixo. E continuem explorando o mundo da matemática, pois ele está cheio de desafios e descobertas incríveis!

Está com dificuldades em resolver inequações do 2º grau? Não se preocupe! Neste artigo, vamos te guiar passo a passo na solução da inequação x² - 6x - 8 < 0, explicando cada etapa do processo e te mostrando como encontrar o conjunto solução de forma clara e objetiva. Prepare-se para destravar o seu potencial matemático e dominar as inequações!

O Que São Inequações do 2º Grau e Como Elas Funcionam?

Inequações do 2º grau são expressões matemáticas que envolvem uma variável elevada ao quadrado (x²) e um sinal de desigualdade (<, >, ≤ ou ≥). Diferentemente das equações, que possuem soluções pontuais, as inequações têm conjuntos solução, ou seja, intervalos de valores que tornam a desigualdade verdadeira. Para resolver uma inequação do 2º grau, precisamos encontrar esses intervalos.

A Relação Entre Inequações e Gráficos de Funções Quadráticas

Uma forma visual de entender as inequações do 2º grau é através dos gráficos de funções quadráticas, as famosas parábolas. A parábola representa a função f(x) = ax² + bx + c, e suas raízes (os pontos onde a parábola cruza o eixo x) são fundamentais para determinar o conjunto solução da inequação. O sinal da função (positivo ou negativo) em cada intervalo definido pelas raízes nos diz quais valores de x satisfazem a inequação.

Passos Essenciais para Resolver Inequações do 2º Grau

Para resolver uma inequação do 2º grau, geralmente seguimos os seguintes passos:

  1. Transformar a inequação em equação: Igualamos a expressão a zero para encontrar as raízes.
  2. Calcular o discriminante (Δ): O discriminante nos informa sobre a quantidade de raízes reais da equação.
  3. Aplicar a fórmula de Bhaskara: Usamos a fórmula para encontrar as raízes da equação.
  4. Analisar o sinal da parábola: Verificamos se a parábola tem concavidade para cima ou para baixo e como isso afeta o sinal da função.
  5. Determinar o conjunto solução: Identificamos os intervalos onde a função satisfaz a desigualdade da inequação.

Resolvendo a Inequação x² - 6x - 8 < 0: Um Exemplo Prático

Agora, vamos aplicar esses passos para resolver a inequação x² - 6x - 8 < 0. Acompanhe o raciocínio e veja como é simples!

  1. Transformando em equação:

    x² - 6x - 8 = 0

  2. Calculando o discriminante:

    Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 1 * -8 = 36 + 32 = 68

  3. Aplicando a fórmula de Bhaskara:

    x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

    x = [6 ± √68] / 2

    x = [6 ± 2√17] / 2

    x = 3 ± √17

    As raízes são x₁ = 3 + √17 e x₂ = 3 - √17.

  4. Analisando o sinal da parábola:

    Como o coeficiente de x² é positivo (1), a parábola tem concavidade para cima. Isso significa que a função é negativa entre as raízes e positiva fora delas.

  5. Determinando o conjunto solução:

    A inequação é x² - 6x - 8 < 0, ou seja, queremos os valores de x onde a função é negativa. Portanto, o conjunto solução é o intervalo aberto entre as raízes:

    S = {x ∈ ℝ | 3 - √17 < x < 3 + √17}

    Aproximadamente, S = {x ∈ ℝ | -1,12 < x < 7,12}

Escolhendo a Alternativa Correta e Justificando a Resposta

Com o conjunto solução em mãos, podemos analisar as alternativas fornecidas e escolher a correta. A alternativa B) (-2, 4) é a que mais se aproxima do nosso conjunto solução, embora não seja exatamente igual devido às aproximações das raízes. É importante entender que as raízes exatas são 3 - √17 e 3 + √17, e os valores -2 e 4 são apenas aproximações.

Dicas e Truques para Acelerar a Resolução de Inequações

Para se tornar um expert em inequações do 2º grau, confira estas dicas:

  • Domine a fórmula de Bhaskara: Ela é a chave para encontrar as raízes.
  • Desenhe a parábola: Visualizar o gráfico te ajuda a entender o sinal da função.
  • Use ferramentas online: Existem calculadoras e plotters gráficos que facilitam a resolução.
  • Pratique com exercícios: Quanto mais você praticar, mais rápido e confiante ficará.

Conclusão: Inequações do 2º Grau Descomplicadas!

Parabéns! Você chegou ao final deste guia completo sobre a inequação x² - 6x - 8 < 0. Agora você sabe como resolver inequações do 2º grau passo a passo, encontrar o conjunto solução e justificar a resposta correta. Lembre-se de que a prática leva à perfeição, então continue resolvendo exercícios e explorando o mundo da matemática.

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