Como Calcular As Dimensões De Um Terreno Retangular Perímetro 110m E Área 600m²

E aí, pessoal! Tudo tranquilo? Hoje, vamos resolver um problema super interessante e prático: como calcular as dimensões de um terreno retangular quando sabemos o perímetro e a área. Imagina só, você tem um terreno com um perímetro de 110 metros e uma área de 600 metros quadrados, e precisa descobrir as medidas exatas para construir sua casa, fazer um jardim, ou qualquer outro projeto. Parece complicado? Mas relaxa, vamos desmistificar isso juntos, passo a passo, de forma clara e divertida!

Entendendo o Problema: Perímetro e Área

Antes de mergulharmos nos cálculos, é fundamental entendermos o que significam perímetro e área. Essa é a base para resolvermos qualquer problema geométrico, então, bora lá!

Perímetro: O Contorno do Terreno

O perímetro é a soma de todos os lados de uma figura. Em um retângulo, temos dois lados que chamamos de comprimento (que vamos representar por l) e dois lados que chamamos de largura (que vamos representar por w). Então, o perímetro (P) de um retângulo é dado pela seguinte fórmula:

${ P = 2l + 2w }$

Em outras palavras, é como se você estivesse dando uma volta completa ao redor do terreno e medindo o comprimento total dessa volta. No nosso caso, sabemos que o perímetro é de 110 metros. Então, já podemos escrever nossa primeira equação:

${ 2l + 2w = 110 }$

Área: O Espaço Dentro do Terreno

A área, por outro lado, representa o espaço dentro do terreno. É a medida da superfície do retângulo. Para calcular a área (A) de um retângulo, multiplicamos o comprimento pela largura:

${ A = l \times w }$

No nosso problema, a área é de 600 metros quadrados. Isso nos dá a segunda equação:

${ l \times w = 600 }$

Agora que entendemos o que são perímetro e área, e temos nossas duas equações, estamos prontos para o próximo passo: resolver o sistema de equações e encontrar o comprimento e a largura do terreno. Preparados? Vamos nessa!

Montando o Sistema de Equações

Beleza, pessoal! Já entendemos o que é perímetro e área, e agora temos duas equações que representam o nosso problema. Essas equações formam um sistema, e a solução desse sistema nos dará as dimensões do terreno. Vamos recapitular as equações:

1. Perímetro: ${ 2l + 2w = 110 }$
2. Área: ${ l \times w = 600 }$

Onde:

• l representa o comprimento do terreno.
• w representa a largura do terreno.

Nosso objetivo agora é encontrar os valores de l e w que satisfaçam ambas as equações. Para isso, podemos usar diferentes métodos, como substituição ou isolamento de uma variável. Vamos começar simplificando a primeira equação para facilitar os cálculos. Podemos dividir ambos os lados da equação do perímetro por 2:

${ \frac{2l + 2w}{2} = \frac{110}{2} }$

Isso nos dá:

${ l + w = 55 }$

Agora temos um sistema mais simples:

1. ${ l + w = 55 }$
2. ${ l \times w = 600 }$

No próximo passo, vamos isolar uma das variáveis em uma das equações. Isso vai nos permitir substituir essa variável na outra equação e resolver o problema. Qual variável devemos isolar? Qual equação parece mais fácil de trabalhar? Vamos descobrir!

Resolvendo o Sistema por Substituição

Show de bola! Chegamos a um ponto crucial: resolver o sistema de equações. Para isso, vamos usar o método da substituição, que é super eficiente para esse tipo de problema. A ideia é isolar uma das variáveis em uma das equações e, em seguida, substituir essa variável na outra equação. Parece complicado? Calma, vamos fazer juntos!

Já temos nosso sistema simplificado:

1. ${ l + w = 55 }$
2. ${ l \times w = 600 }$

Vamos isolar o l na primeira equação. Para isso, basta subtrair w de ambos os lados:

${ l = 55 - w }$

Pronto! Agora temos o valor de l em função de w. O próximo passo é substituir esse valor na segunda equação, que é a equação da área:

${ (55 - w) \times w = 600 }$

Agora temos uma equação com apenas uma variável, o w. Vamos expandir essa equação e organizá-la para que possamos resolvê-la:

${ 55w - w^2 = 600 }$

Para facilitar a resolução, vamos passar todos os termos para um lado da equação, igualando a zero. Isso nos dará uma equação quadrática:

${ w^2 - 55w + 600 = 0 }$

Eita! Chegamos em uma equação de segundo grau. Mas não se assustem, guys! Existem métodos bem conhecidos para resolver equações quadráticas, como a fórmula de Bhaskara. Vamos aplicá-la no próximo passo e descobrir os valores de w. Estão preparados para mais um desafio?

Aplicando a Fórmula de Bhaskara

Chegamos à famosa equação quadrática! Para resolver a nossa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara, uma ferramenta poderosa para encontrar as raízes de qualquer equação do segundo grau. A equação que temos é:

${ w^2 - 55w + 600 = 0 }$

A fórmula de Bhaskara é dada por:

${ w = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$

Onde a, b e c são os coeficientes da nossa equação quadrática. No nosso caso:

• a = 1 (coeficiente de ${ w^2 }$)
• b = -55 (coeficiente de w)
• c = 600 (termo independente)

Primeiro, vamos calcular o discriminante (${ \Delta }$), que é a parte dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara:

${ \Delta = b^2 - 4ac }$

Substituindo os valores:

${ \Delta = (-55)^2 - 4 \times 1 \times 600 }$

${ \Delta = 3025 - 2400 }$

${ \Delta = 625 }$

Ótimo! O discriminante é positivo, o que significa que temos duas soluções reais para a nossa equação. Agora, vamos substituir o valor de ${ \Delta }$ na fórmula de Bhaskara e encontrar os valores de w:

${ w = \frac{-(-55) \pm \sqrt{625}}{2 \times 1} }$

${ w = \frac{55 \pm 25}{2} }$

Isso nos dá duas soluções para w:

1. ${ w_1 = \frac{55 + 25}{2} = \frac{80}{2} = 40 }$
2. ${ w_2 = \frac{55 - 25}{2} = \frac{30}{2} = 15 }$

Temos dois valores possíveis para a largura do terreno: 40 metros e 15 metros. Qual deles é o correto? Ou será que ambos estão certos? Para descobrir, precisamos calcular o comprimento correspondente a cada valor de w. Vamos fazer isso no próximo passo!

Encontrando o Comprimento

Arrasamos até aqui! Encontramos dois valores possíveis para a largura do terreno: 40 metros e 15 metros. Mas, para termos certeza das dimensões do terreno, precisamos encontrar o comprimento correspondente a cada uma dessas larguras. Para isso, vamos usar a equação que encontramos anteriormente:

${ l = 55 - w }$

Vamos calcular o comprimento para cada valor de w:

1. Se ${ w = 40 }$ metros:

   ${ l = 55 - 40 = 15 }$ metros

2. Se ${ w = 15 }$ metros:

   ${ l = 55 - 15 = 40 }$ metros

Percebam que, em ambos os casos, encontramos os mesmos valores, apenas trocados! Isso significa que temos duas soluções possíveis para as dimensões do terreno:

• Solução 1: Largura = 40 metros, Comprimento = 15 metros
• Solução 2: Largura = 15 metros, Comprimento = 40 metros

Mas, espera aí! As duas soluções são válidas? Sim! Em um retângulo, o que chamamos de largura e comprimento é apenas uma questão de perspectiva. O importante é que as dimensões do terreno são 15 metros e 40 metros. Podemos dizer que o terreno tem 15 metros de largura e 40 metros de comprimento, ou vice-versa. O resultado final é o mesmo!

Verificando as Dimensões

E aí, pessoal! Chegamos à reta final da nossa jornada matemática. Encontramos as possíveis dimensões do terreno retangular: 15 metros e 40 metros. Mas, antes de darmos o problema como resolvido, é fundamental verificarmos se essas dimensões realmente satisfazem as condições iniciais do problema: perímetro de 110 metros e área de 600 metros quadrados. Vamos lá!

Verificando o Perímetro

O perímetro é a soma de todos os lados do retângulo. Usando as dimensões que encontramos, temos:

${ P = 2l + 2w }$

Substituindo os valores:

${ P = 2 \times 40 + 2 \times 15 }$

${ P = 80 + 30 }$

${ P = 110 }$ metros

Perfeito! O perímetro calculado corresponde ao perímetro dado no problema. Isso é um ótimo sinal!

Verificando a Área

Agora, vamos verificar a área. A área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento pela largura:

${ A = l \times w }$

Substituindo os valores:

${ A = 40 \times 15 }$

${ A = 600 }$ metros quadrados

Incrível! A área calculada também corresponde à área dada no problema. Isso confirma que as dimensões que encontramos estão corretas!

Conclusão: Missão Cumprida!

Parabéns, galera! Conseguimos calcular as dimensões de um terreno retangular com perímetro de 110 metros e área de 600 metros quadrados. Usamos conceitos de perímetro e área, montamos um sistema de equações, resolvemos a equação quadrática com a fórmula de Bhaskara e, o mais importante, verificamos se a solução encontrada fazia sentido. Ufa! Foi uma jornada e tanto, mas chegamos ao final com sucesso!

Lembrem-se: a matemática está presente em diversas situações do nosso dia a dia. Saber como aplicar esses conceitos nos ajuda a resolver problemas práticos e a tomar decisões mais inteligentes. Então, continuem praticando, explorando e se desafiando. E, claro, se tiverem qualquer dúvida, podem contar comigo! Até a próxima!