Cara Mudah Menyederhanakan Bentuk Akar Lengkap Dengan Contoh Soal

by Scholario Team 66 views

Guys, pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang bentuknya akar-akaran gitu? Kadang bikin pusing ya, apalagi kalau angkanya gede-gede. Tapi tenang aja, sebenarnya menyederhanakan bentuk akar itu gak sesulit yang dibayangkan kok. Di artikel ini, kita bakal bahas tuntas gimana caranya menyederhanakan bentuk akar, lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Yuk, simak!

Apa Itu Bentuk Akar?

Sebelum kita masuk ke cara menyederhanakan, kita pahami dulu yuk apa itu bentuk akar. Secara sederhana, bentuk akar adalah bilangan irasional yang berada di dalam tanda akar (√). Bilangan irasional itu sendiri adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Contohnya: √2, √3, √5, √7, dan seterusnya. Bilangan-bilangan ini kalau dihitung desimalnya, angkanya akan terus berlanjut tanpa pola yang jelas.

Bentuk akar ini muncul karena ada bilangan yang kalau dikuadratkan, hasilnya bukan bilangan bulat sempurna. Misalnya, 2 kuadrat itu 4, 3 kuadrat itu 9, dan seterusnya. Tapi, ada juga bilangan yang kalau dikuadratkan hasilnya bukan bilangan bulat sempurna, seperti 2, 3, 5, dan lain-lain. Nah, akar dari bilangan-bilangan inilah yang disebut bentuk akar.

Kenapa Kita Perlu Menyederhanakan Bentuk Akar?

Kalian mungkin bertanya-tanya, kenapa sih kita perlu menyederhanakan bentuk akar? Bukannya lebih gampang kalau dibiarin aja kayak gitu? Nah, ada beberapa alasan kenapa menyederhanakan bentuk akar itu penting:

  1. Memudahkan perhitungan: Bentuk akar yang sederhana akan lebih mudah dihitung, terutama jika kita perlu melakukan operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian.
  2. Menyajikan jawaban yang lebih ringkas: Dalam matematika, kita selalu berusaha untuk menyajikan jawaban dalam bentuk yang paling sederhana. Bentuk akar yang sederhana tentu lebih ringkas dan mudah dipahami.
  3. Mempermudah perbandingan: Jika kita punya beberapa bentuk akar yang berbeda, akan lebih mudah untuk membandingkannya jika semuanya sudah dalam bentuk sederhana.

Cara Menyederhanakan Bentuk Akar

Oke, sekarang kita masuk ke inti dari pembahasan kita, yaitu cara menyederhanakan bentuk akar. Pada dasarnya, ada dua langkah utama dalam menyederhanakan bentuk akar:

  1. Faktorkan bilangan di dalam akar: Cari faktor-faktor dari bilangan di dalam akar, dan usahakan untuk menemukan faktor yang merupakan bilangan kuadrat sempurna (yaitu bilangan yang merupakan hasil kuadrat dari bilangan bulat, seperti 4, 9, 16, 25, dan seterusnya).
  2. Keluarkan faktor kuadrat sempurna dari akar: Jika kita sudah menemukan faktor kuadrat sempurna, kita bisa keluarkan faktor tersebut dari tanda akar. Caranya, akar kuadratkan faktor tersebut, lalu tulis hasilnya di luar tanda akar.

Biar lebih jelas, kita langsung ke contoh soal aja ya.

Contoh Soal 1: Menyederhanakan √32

Misalnya, kita punya bentuk akar √32. Gimana cara menyederhanakannya?

  1. Faktorkan bilangan di dalam akar: Faktor-faktor dari 32 adalah 1, 2, 4, 8, 16, dan 32. Dari faktor-faktor ini, kita lihat bahwa 16 adalah bilangan kuadrat sempurna (karena 16 = 4²). Jadi, kita bisa tulis 32 sebagai 16 x 2.
  2. Keluarkan faktor kuadrat sempurna dari akar: Kita punya √32 = √(16 x 2). Kita bisa pecah ini menjadi √16 x √2. Nah, √16 itu sama dengan 4, jadi kita dapat 4√2.

Jadi, bentuk sederhana dari √32 adalah 4√2. Gampang kan?

Contoh Soal 2: Menyederhanakan √75

Contoh lain, kita punya √75. Kita coba sederhanakan yuk!

  1. Faktorkan bilangan di dalam akar: Faktor-faktor dari 75 adalah 1, 3, 5, 15, 25, dan 75. Dari faktor-faktor ini, kita lihat bahwa 25 adalah bilangan kuadrat sempurna (karena 25 = 5²). Jadi, kita bisa tulis 75 sebagai 25 x 3.
  2. Keluarkan faktor kuadrat sempurna dari akar: Kita punya √75 = √(25 x 3). Kita bisa pecah ini menjadi √25 x √3. Nah, √25 itu sama dengan 5, jadi kita dapat 5√3.

Jadi, bentuk sederhana dari √75 adalah 5√3. Makin paham kan?

Operasi pada Bentuk Akar

Selain menyederhanakan, kita juga perlu tahu gimana cara melakukan operasi matematika pada bentuk akar, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Yuk, kita bahas satu per satu.

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bentuk akar, ada satu syarat penting yang harus dipenuhi: bentuk akarnya harus sejenis. Bentuk akar sejenis adalah bentuk akar yang memiliki bilangan di dalam akar yang sama. Misalnya, 2√3 dan 5√3 adalah bentuk akar sejenis, tapi 2√3 dan 3√2 bukan bentuk akar sejenis.

Kalau bentuk akarnya sejenis, kita tinggal menjumlahkan atau mengurangkan koefisien (angka di depan tanda akar) nya saja. Bilangan di dalam akar tetap sama.

Contoh:

  • 2√3 + 5√3 = (2 + 5)√3 = 7√3
  • 7√5 - 3√5 = (7 - 3)√5 = 4√5

Kalau bentuk akarnya belum sejenis, kita perlu menyederhanakannya dulu sampai menjadi bentuk akar sejenis. Nah, di sinilah pentingnya kita menguasai cara menyederhanakan bentuk akar yang sudah kita bahas sebelumnya.

Perkalian Bentuk Akar

Untuk perkalian bentuk akar, caranya cukup sederhana. Kita tinggal mengalikan koefisien dengan koefisien, dan bilangan di dalam akar dengan bilangan di dalam akar.

Contoh:

  • (2√3) x (3√5) = (2 x 3)√(3 x 5) = 6√15
  • (4√2) x (√7) = (4 x 1)√(2 x 7) = 4√14

Pembagian Bentuk Akar

Untuk pembagian bentuk akar, caranya hampir sama dengan perkalian. Kita bagi koefisien dengan koefisien, dan bilangan di dalam akar dengan bilangan di dalam akar.

Contoh:

  • (6√15) / (2√3) = (6 / 2)√(15 / 3) = 3√5
  • (8√14) / (4√2) = (8 / 4)√(14 / 2) = 2√7

Ada satu hal penting yang perlu diperhatikan dalam pembagian bentuk akar, yaitu merasionalkan penyebut. Merasionalkan penyebut artinya mengubah penyebut yang berupa bentuk akar menjadi bilangan rasional (bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b). Caranya gimana? Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk akar yang sama dengan penyebut.

Contoh:

Misalnya, kita punya pecahan 2/√3. Kita rasionalkan penyebutnya yuk!

Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan √3:

(2/√3) x (√3/√3) = (2√3) / 3

Nah, sekarang penyebutnya sudah jadi bilangan rasional, yaitu 3. Jadi, bentuk rasional dari 2/√3 adalah (2√3) / 3.

Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Nah, sekarang kita coba bahas beberapa contoh soal yang lebih kompleks ya, biar kalian makin jago dalam menyederhanakan bentuk akar.

Soal 1:

Sederhanakan bentuk akar berikut:

a. 5√2 + √32 + 3√8 b. 6√50 - 2√8

Pembahasan:

a. 5√2 + √32 + 3√8

  • Pertama, kita sederhanakan dulu masing-masing bentuk akar:
    • √32 = √(16 x 2) = √16 x √2 = 4√2
    • 3√8 = 3√(4 x 2) = 3(√4 x √2) = 3(2√2) = 6√2
  • Setelah itu, kita jumlahkan bentuk akar yang sejenis:
    • 5√2 + 4√2 + 6√2 = (5 + 4 + 6)√2 = 15√2

Jadi, bentuk sederhana dari 5√2 + √32 + 3√8 adalah 15√2.

b. 6√50 - 2√8

  • Sama seperti sebelumnya, kita sederhanakan dulu masing-masing bentuk akar:
    • 6√50 = 6√(25 x 2) = 6(√25 x √2) = 6(5√2) = 30√2
    • 2√8 = 2√(4 x 2) = 2(√4 x √2) = 2(2√2) = 4√2
  • Setelah itu, kita kurangkan bentuk akar yang sejenis:
    • 30√2 - 4√2 = (30 - 4)√2 = 26√2

Jadi, bentuk sederhana dari 6√50 - 2√8 adalah 26√2.

Soal 2:

Rasionalkan penyebut dari pecahan berikut: 3 / (2 + √5)

Pembahasan:

Untuk merasionalkan penyebut yang berbentuk penjumlahan atau pengurangan, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut. Sekawan dari (2 + √5) adalah (2 - √5). Jadi, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan (2 - √5):

[3 / (2 + √5)] x [(2 - √5) / (2 - √5)] = [3(2 - √5)] / [(2 + √5)(2 - √5)]

Kita jabarkan penyebutnya menggunakan rumus (a + b)(a - b) = a² - b²:

[3(2 - √5)] / (2² - (√5)²) = [3(2 - √5)] / (4 - 5) = [3(2 - √5)] / (-1) = -3(2 - √5) = -6 + 3√5

Jadi, bentuk rasional dari 3 / (2 + √5) adalah -6 + 3√5.

Tips dan Trik Menyederhanakan Bentuk Akar

  • Hafalkan bilangan kuadrat sempurna: Semakin banyak bilangan kuadrat sempurna yang kalian hafal, semakin cepat kalian bisa menyederhanakan bentuk akar.
  • Latihan soal secara rutin: Sama seperti materi matematika lainnya, kunci untuk menguasai bentuk akar adalah dengan banyak latihan soal.
  • Jangan takut bertanya: Kalau ada soal yang sulit, jangan ragu untuk bertanya ke guru, teman, atau sumber belajar lainnya.

Kesimpulan

Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang cara menyederhanakan bentuk akar, mulai dari konsep dasar, cara menyederhanakan, operasi pada bentuk akar, contoh soal, sampai tips dan triknya. Gimana, guys? Sekarang udah lebih paham kan tentang bentuk akar? Jangan lupa untuk terus latihan soal ya, biar makin jago!

Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian semua. Sampai jumpa di artikel selanjutnya!