Análise Completa Da Parábola Y = −2x² + 4x + 1 Descubra A Concavidade E Intersecções
E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? 😄 Hoje, vamos embarcar em uma jornada matemática superinteressante para desvendar os segredos da parábola definida pela função quadrática y = −2x² + 4x + 1. Preparem-se para explorar cada detalhe dessa curva fascinante e descobrir qual das afirmações abaixo é a verdadeira:
a) A parábola tem concavidade positiva. b) A parábola tem concavidade negativa. c) A parábola intersecta o eixo y em um valor maior que 1. d) A parábola intersecta o eixo y em um valor menor que 1. e) A parábola não intersecta o eixo y.
Então, peguem seus lápis, cadernos e vamos juntos nessa aventura matemática! 🚀
Concavidade da Parábola: O Segredo Revelado pelo Coeficiente 'a'
Para começar a nossa análise, vamos falar sobre um conceito crucial: a concavidade da parábola. Essa característica nos diz se a parábola está “sorrindo” (concavidade para cima) ou “triste” (concavidade para baixo). E adivinhem só? Existe um jeito super fácil de descobrir a concavidade, basta prestar atenção no coeficiente 'a' da função quadrática! 😉
Na nossa função y = −2x² + 4x + 1, o coeficiente 'a' é o número que acompanha o termo x², que nesse caso é -2. Agora, a grande sacada: se o 'a' é negativo, a parábola tem concavidade para baixo (triste); se o 'a' é positivo, a parábola tem concavidade para cima (sorrindo). É simples assim! 👌
Então, olhando para o nosso 'a' = -2, podemos concluir que a parábola tem concavidade negativa. Já eliminamos uma alternativa! 😉
Aprofundando o conhecimento sobre concavidade:
- a > 0: A parábola tem concavidade voltada para cima. O vértice representa o ponto de mínimo da função.
- a < 0: A parábola tem concavidade voltada para baixo. O vértice representa o ponto de máximo da função.
- a = 0: Deixa de ser uma função quadrática, tornando-se uma função linear (uma reta).
Percebam, guys, como o coeficiente 'a' é um indicador poderoso da forma da parábola. Dominar esse conceito é fundamental para entender o comportamento das funções quadráticas e suas aplicações em diversas áreas, desde a física até a economia. 🤓
Intersecção com o Eixo y: Desvendando o Valor do Termo Independente
Agora, vamos explorar outro ponto chave da nossa parábola: a intersecção com o eixo y. Esse é o ponto onde a parábola cruza o eixo vertical do nosso plano cartesiano. E aqui vai mais um truque ninja: o ponto de intersecção com o eixo y é dado pelo termo independente da função quadrática, ou seja, o valor de 'c'. 🤯
Na nossa função y = −2x² + 4x + 1, o termo independente 'c' é 1. Isso significa que a parábola intersecta o eixo y no ponto (0, 1). Moleza, né? 😎
Com essa informação, podemos analisar as alternativas que falam sobre a intersecção com o eixo y. A alternativa (c) diz que a parábola intersecta o eixo y em um valor maior que 1, o que é falso, já que intersecta em 1. A alternativa (d) diz que intersecta em um valor menor que 1, o que também é falso. E a alternativa (e) diz que não intersecta o eixo y, o que é totalmente falso. 😅
Dica extra: Lembrem-se que o termo independente 'c' sempre representa o valor de 'y' quando 'x' é igual a zero. Isso facilita muito a identificação do ponto de intersecção com o eixo y. 😉
Aplicações práticas da intersecção com o eixo y:
- Em problemas de lançamento de projéteis, o ponto de intersecção com o eixo y pode representar a altura inicial do projétil.
- Em problemas de otimização, pode indicar o valor inicial de uma função custo ou lucro.
- Em gráficos de funções quadráticas que modelam situações do mundo real, a intersecção com o eixo y oferece informações valiosas sobre o contexto do problema.
Análise Completa da Parábola: Decifrando Todos os Seus Mistérios
Chegou a hora de juntar todas as peças do quebra-cabeça e fazer uma análise completa da nossa parábola y = −2x² + 4x + 1. Já descobrimos que ela tem concavidade negativa e intersecta o eixo y no ponto (0, 1). Mas ainda podemos ir além! 🚀
Vamos calcular as raízes da função, ou seja, os pontos onde a parábola intersecta o eixo x. Para isso, precisamos resolver a equação do segundo grau −2x² + 4x + 1 = 0. Podemos usar a famosa fórmula de Bhaskara:
Δ = b² - 4ac x = (-b ± √Δ) / 2a
No nosso caso, a = -2, b = 4 e c = 1. Calculando o discriminante Δ:
Δ = 4² - 4 * (-2) * 1 = 16 + 8 = 24
Agora, calculamos as raízes:
x = (-4 ± √24) / (2 * -2) x = (-4 ± 2√6) / -4
Simplificando, temos duas raízes:
x₁ = (2 - √6) / 2 ≈ -0,22 x₂ = (2 + √6) / 2 ≈ 2,22
Isso significa que a parábola intersecta o eixo x em dois pontos: aproximadamente (-0,22, 0) e (2,22, 0). 😉
Outro ponto importante para analisarmos é o vértice da parábola, que representa o ponto de máximo (já que a concavidade é negativa). As coordenadas do vértice (xv, yv) podem ser calculadas pelas fórmulas:
xv = -b / 2a yv = -Δ / 4a
Substituindo os valores, temos:
xv = -4 / (2 * -2) = 1 yv = -24 / (4 * -2) = 3
Portanto, o vértice da parábola é o ponto (1, 3). 🤩
Resumindo a nossa análise:
- Concavidade: Negativa (para baixo)
- Intersecção com o eixo y: (0, 1)
- Raízes: x₁ ≈ -0,22 e x₂ ≈ 2,22
- Vértice: (1, 3)
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da parábola e ter uma visão completa do seu comportamento. 📈
Conclusão: A Verdade Revelada e o Poder da Matemática
Depois de toda essa análise minuciosa, chegamos à conclusão de que a alternativa (b) A parábola tem concavidade negativa é a verdadeira. 🎉
Mas o mais importante de tudo é que essa jornada nos mostrou o poder da matemática para desvendar os mistérios das funções quadráticas e das parábolas. Aprendemos a identificar a concavidade, a intersecção com o eixo y, as raízes e o vértice, e como todas essas informações se conectam para formar uma imagem completa da parábola. 🤩
E aí, caras, curtiram essa aventura matemática? Espero que sim! Lembrem-se que a matemática está presente em tudo ao nosso redor, e quanto mais a exploramos, mais fascinante ela se torna. ✨
Se tiverem alguma dúvida ou quiserem continuar essa conversa, deixem seus comentários aqui embaixo. 😉 E fiquem ligados para mais conteúdos incríveis sobre matemática e outros temas superinteressantes! 🚀
